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1. 問題の内容
画像には主に3つの問題があります。
1. 陰関数 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ で表される関数の $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求め、その結果を$\frac{1}{(Ax+By)^C}$の形で表す。$A, B, C$の値を求める。
2. 関数 $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 4x - 2y$ の極値を求める。極値を取る$(x, y) = (D, E)$の$D, E$の値、極値の種類(極大値または極小値)、そして極値そのものを求める。
3. 条件 $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、関数 $f(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ の最大値と最小値を求める。
ここでは、最初の問題のみを解きます。
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2. 解き方の手順
1. 陰関数 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ を$x$に関して微分する。
2. $\frac{dy}{dx}$について解く。
3. $\frac{d^2y}{dx^2}$を求めるために、$\frac{dy}{dx}$をさらに$x$に関して微分する。
4. $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x+2y}$を代入する。
5. 式を整理する。
6. $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$を代入する。
この結果をの形で比較すると、となります。
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3. 最終的な答え
Aは 1
Bは 2
Cは 3