## 1. 問題の内容

解析学陰関数微分二階微分代入
2025/7/9
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1. 問題の内容

画像には主に3つの問題があります。

1. 陰関数 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ で表される関数の $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求め、その結果を$\frac{1}{(Ax+By)^C}$の形で表す。$A, B, C$の値を求める。

2. 関数 $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 4x - 2y$ の極値を求める。極値を取る$(x, y) = (D, E)$の$D, E$の値、極値の種類(極大値または極小値)、そして極値そのものを求める。

3. 条件 $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、関数 $f(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ の最大値と最小値を求める。

ここでは、最初の問題のみを解きます。
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2. 解き方の手順

1. 陰関数 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ を$x$に関して微分する。

2x+2y+2xdydx+4ydydx=02x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} + 4y\frac{dy}{dx} = 0

2. $\frac{dy}{dx}$について解く。

dydx=x+yx+2y\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x+2y}

3. $\frac{d^2y}{dx^2}$を求めるために、$\frac{dy}{dx}$をさらに$x$に関して微分する。

d2ydx2=(1+dydx)(x+2y)(x+y)(1+2dydx)(x+2y)2\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1+\frac{dy}{dx})(x+2y) - (x+y)(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}

4. $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x+2y}$を代入する。

d2ydx2=(1x+yx+2y)(x+2y)(x+y)(12x+yx+2y)(x+2y)2\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1-\frac{x+y}{x+2y})(x+2y) - (x+y)(1-2\frac{x+y}{x+2y})}{(x+2y)^2}

5. 式を整理する。

d2ydx2=(x+2yxy)(x+y)(x+2y2x2yx+2y)(x+2y)2=y(x+y)(x0x+2y)(x+2y)2=y+(x+y)xx+2y(x+2y)2=y(x+2y)+(x+y)x(x+2y)3=xy+2y2+x2+xy(x+2y)3=x2+2xy+2y2(x+2y)3\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(x+2y-x-y) - (x+y)(\frac{x+2y-2x-2y}{x+2y})}{(x+2y)^2} = -\frac{y - (x+y)(\frac{-x-0}{x+2y})}{(x+2y)^2} = -\frac{y + \frac{(x+y)x}{x+2y}}{(x+2y)^2} = -\frac{y(x+2y)+(x+y)x}{(x+2y)^3} = -\frac{xy + 2y^2 + x^2 + xy}{(x+2y)^3} = -\frac{x^2 + 2xy + 2y^2}{(x+2y)^3}

6. $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$を代入する。

d2ydx2=1(x+2y)3\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(x+2y)^3}
この結果を1(Ax+By)C\frac{1}{(Ax+By)^C}の形で比較すると、A=1,B=2,C=3A = 1, B = 2, C = 3となります。
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3. 最終的な答え

Aは 1
Bは 2
Cは 3

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