## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

画像には主に3つの問題があります。

1. 陰関数 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ で表される関数の $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求め、その結果を$\frac{1}{(Ax+By)^C}$の形で表す。$A, B, C$の値を求める。

2. 関数 $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 4x - 2y$ の極値を求める。極値を取る$(x, y) = (D, E)$の$D, E$の値、極値の種類（極大値または極小値）、そして極値そのものを求める。

3. 条件 $g(x, y) = x^2 + y^2 - 1 = 0$ の下で、関数 $f(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ の最大値と最小値を求める。

ここでは、最初の問題のみを解きます。

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2. 解き方の手順

1. 陰関数 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ を$x$に関して微分する。

$2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} + 4y\frac{dy}{dx} = 0$

2. $\frac{dy}{dx}$について解く。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x+2y}$

3. $\frac{d^2y}{dx^2}$を求めるために、$\frac{dy}{dx}$をさらに$x$に関して微分する。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1+\frac{dy}{dx})(x+2y) - (x+y)(1+2\frac{dy}{dx})}{(x+2y)^2}$

4. $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x+2y}$を代入する。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(1-\frac{x+y}{x+2y})(x+2y) - (x+y)(1-2\frac{x+y}{x+2y})}{(x+2y)^2}$

5. 式を整理する。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{(x+2y-x-y) - (x+y)(\frac{x+2y-2x-2y}{x+2y})}{(x+2y)^2} = -\frac{y - (x+y)(\frac{-x-0}{x+2y})}{(x+2y)^2} = -\frac{y + \frac{(x+y)x}{x+2y}}{(x+2y)^2} = -\frac{y(x+2y)+(x+y)x}{(x+2y)^3} = -\frac{xy + 2y^2 + x^2 + xy}{(x+2y)^3} = -\frac{x^2 + 2xy + 2y^2}{(x+2y)^3}$

6. $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$を代入する。

$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{(x+2y)^3}$

この結果を$\frac{1}{(Ax+By)^C}$の形で比較すると、$A = 1, B = 2, C = 3$となります。

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3. 最終的な答え

Aは 1

Bは 2

Cは 3