以下の極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+x} - 2x)$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}$ (4) $\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{2}{x}}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - x}{x^3}$

解析学極限微分ロピタルの定理三角関数逆正接関数
2025/7/9

1. 問題の内容

以下の極限を計算する問題です。
(1) limx12x+34x+1x1\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}
(2) limx(4x2+x2x)\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+x} - 2x)
(3) limx0sin3xsin5x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}
(4) limx0(1+3x)2x\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{2}{x}}
(5) limx0arctanxxx3\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - x}{x^3}

2. 解き方の手順

(1) limx12x+34x+1x1\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1}}{x-1}
分母分子に 2x+3+4x+1\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1} をかけます。
limx1(2x+34x+1)(2x+3+4x+1)(x1)(2x+3+4x+1)=limx1(2x+3)(4x+1)(x1)(2x+3+4x+1)=limx12x+2(x1)(2x+3+4x+1)=limx12(x1)(x1)(2x+3+4x+1)=limx122x+3+4x+1=25+5=225=15\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{2x+3} - \sqrt{4x+1})(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{(2x+3) - (4x+1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2x+2}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2(x-1)}{(x-1)(\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{4x+1}} = \frac{-2}{\sqrt{5} + \sqrt{5}} = \frac{-2}{2\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}
(2) limx(4x2+x2x)\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2+x} - 2x)
分母分子に 4x2+x+2x\sqrt{4x^2+x} + 2x をかけます。
limx(4x2+x2x)(4x2+x+2x)4x2+x+2x=limx(4x2+x)4x24x2+x+2x=limxx4x2+x+2x=limxxx2(4+1x)+2x=limxxx4+1x+2x=limx14+1x+2=14+2=12+2=14\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{4x^2+x} - 2x)(\sqrt{4x^2+x} + 2x)}{\sqrt{4x^2+x} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4x^2+x) - 4x^2}{\sqrt{4x^2+x} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{4x^2+x} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2(4+\frac{1}{x})} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{x}} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}
(3) limx0sin3xsin5x\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}
limx0sin3xsin5x=limx0sin3xxsin5xx=limx03sin3x3x5sin5x5x=35limx0sin3x3xsin5x5x=3511=35\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x}}{\frac{\sin 5x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{\sin 3x}{3x}}{5 \frac{\sin 5x}{5x}} = \frac{3}{5} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x}}{\frac{\sin 5x}{5x}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1} = \frac{3}{5}
(4) limx0(1+3x)2x\lim_{x \to 0} (1+3x)^{\frac{2}{x}}
y=(1+3x)2xy = (1+3x)^{\frac{2}{x}} とおくと、lny=2xln(1+3x)\ln y = \frac{2}{x} \ln (1+3x).
limx0lny=limx02ln(1+3x)x=2limx0ln(1+3x)x=2limx031+3x1=23=6\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{2 \ln (1+3x)}{x} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+3x)}{x} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1+3x}}{1} = 2 \cdot 3 = 6.
よって、limx0y=e6\lim_{x \to 0} y = e^6.
(5) limx0arctanxxx3\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - x}{x^3}
ロピタルの定理を適用します。
limx0arctanxxx3=limx011+x213x2=limx01(1+x2)1+x23x2=limx0x23x2(1+x2)=limx013(1+x2)=13(1+0)=13\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2} - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1+x^2)}{1+x^2}}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{3x^2(1+x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{3(1+x^2)} = \frac{-1}{3(1+0)} = -\frac{1}{3}

3. 最終的な答え

(1) 15-\frac{1}{\sqrt{5}}
(2) 14\frac{1}{4}
(3) 35\frac{3}{5}
(4) e6e^6
(5) 13-\frac{1}{3}

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