$\log(1-x)$ の展開式における $x^{10}$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$\log(1-x)$ の展開式における $x^{10}$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\log(1-x)$ のマクローリン展開を求めます。

$\log(1+x)$ のマクローリン展開は以下の通りです。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$

この式において $x$ を $-x$ で置き換えると、$\log(1-x)$ のマクローリン展開が得られます。

$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \dots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1) \frac{x^n}{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

したがって、$\log(1-x)$ の展開式における $x^{10}$ の項は $-\frac{x^{10}}{10}$ となります。

よって、$x^{10}$ の係数は $-\frac{1}{10}$ です。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{10}$