4. 次の関数の値を半角の公式を用いて求めよ。 (1) $\cos \frac{\pi}{8}$ (2) $\sin \frac{\pi}{8}$ 5. 次の関数をそれぞれ $r \sin(x + \alpha)$ の形で表せ。 (1) $\sin x + \cos x$ (2) $\sin x - \cos x$ (3) $\sin x + \sqrt{3} \cos x$

1. 問題の内容

4. 次の関数の値を半角の公式を用いて求めよ。

(1) $\cos \frac{\pi}{8}$

(2) $\sin \frac{\pi}{8}$

5. 次の関数をそれぞれ $r \sin(x + \alpha)$ の形で表せ。

(1) $\sin x + \cos x$

(2) $\sin x - \cos x$

(3) $\sin x + \sqrt{3} \cos x$

2. 解き方の手順

4.(1) $\cos \frac{\pi}{8}$ の計算

半角の公式 $\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}$ を用いる。

$\cos \frac{\pi}{8} > 0$ であるから、

$\cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2}}$

$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入して、

$\cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

4.(2) $\sin \frac{\pi}{8}$ の計算

半角の公式 $\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}$ を用いる。

$\sin \frac{\pi}{8} > 0$ であるから、

$\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2}}$

$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入して、

$\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

5.(1) $\sin x + \cos x$ の計算

$r \sin(x + \alpha) = r(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) = (r \cos \alpha) \sin x + (r \sin \alpha) \cos x$

$r \cos \alpha = 1$

$r \sin \alpha = 1$

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1^2 + 1^2 = 2$

$r^2 = 2$

$r = \sqrt{2}$

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\alpha = \frac{\pi}{4}$

$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$

5.(2) $\sin x - \cos x$ の計算

$r \sin(x + \alpha) = r(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) = (r \cos \alpha) \sin x + (r \sin \alpha) \cos x$

$r \cos \alpha = 1$

$r \sin \alpha = -1$

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1^2 + (-1)^2 = 2$

$r^2 = 2$

$r = \sqrt{2}$

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\alpha = -\frac{\pi}{4}$

$\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$

5.(3) $\sin x + \sqrt{3} \cos x$ の計算

$r \sin(x + \alpha) = r(\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha) = (r \cos \alpha) \sin x + (r \sin \alpha) \cos x$

$r \cos \alpha = 1$

$r \sin \alpha = \sqrt{3}$

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$

$r^2 = 4$

$r = 2$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\alpha = \frac{\pi}{3}$

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$

3. 最終的な答え

4.(1) $\cos \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

4.(2) $\sin \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

5.(1) $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$

5.(2) $\sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})$

5.(3) $\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3})$