与えられた関数の極限 $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 + 2x} + x$ に $\frac{\sqrt{x^2 + 2x} - x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$ を掛けて、分子を有理化します。

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} + x)(\sqrt{x^2 + 2x} - x)}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 + 2x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

$x \to -\infty$ なので、$x < 0$ です。したがって、$\sqrt{x^2} = |x| = -x$ となります。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x})} - x}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{|x|\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-x\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-x(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)}$

$x \to -\infty$ のとき $\frac{2}{x} \to 0$ なので、

$= \frac{2}{-(\sqrt{1 + 0} + 1)}$

$= \frac{2}{-(1 + 1)}$

$= \frac{2}{-2}$

$= -1$

3. 最終的な答え

-1