与えられた関数の極限 $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求めよ。解析学極限関数の極限有理化平方根無限大2025/7/91. 問題の内容与えられた関数の極限 limx→−∞(x2+2x+x)\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)limx→−∞(x2+2x+x) を求めよ。2. 解き方の手順まず、x2+2x+x\sqrt{x^2 + 2x} + xx2+2x+x に x2+2x−xx2+2x−x\frac{\sqrt{x^2 + 2x} - x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}x2+2x−xx2+2x−x を掛けて、分子を有理化します。limx→−∞(x2+2x+x)=limx→−∞(x2+2x+x)(x2+2x−x)x2+2x−x\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} + x)(\sqrt{x^2 + 2x} - x)}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}limx→−∞(x2+2x+x)=limx→−∞x2+2x−x(x2+2x+x)(x2+2x−x)=limx→−∞(x2+2x)−x2x2+2x−x= \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 + 2x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}=limx→−∞x2+2x−x(x2+2x)−x2=limx→−∞2xx2+2x−x= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}=limx→−∞x2+2x−x2xx→−∞x \to -\inftyx→−∞ なので、x<0x < 0x<0 です。したがって、x2=∣x∣=−x\sqrt{x^2} = |x| = -xx2=∣x∣=−x となります。limx→−∞2xx2+2x−x=limx→−∞2xx2(1+2x)−x\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x})} - x}limx→−∞x2+2x−x2x=limx→−∞x2(1+x2)−x2x=limx→−∞2x∣x∣1+2x−x= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{|x|\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x}=limx→−∞∣x∣1+x2−x2x=limx→−∞2x−x1+2x−x= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-x\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x}=limx→−∞−x1+x2−x2x=limx→−∞2x−x(1+2x+1)= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-x(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)}=limx→−∞−x(1+x2+1)2x=limx→−∞2−(1+2x+1)= \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)}=limx→−∞−(1+x2+1)2x→−∞x \to -\inftyx→−∞ のとき 2x→0\frac{2}{x} \to 0x2→0 なので、=2−(1+0+1)= \frac{2}{-(\sqrt{1 + 0} + 1)}=−(1+0+1)2=2−(1+1)= \frac{2}{-(1 + 1)}=−(1+1)2=2−2= \frac{2}{-2}=−22=−1= -1=−13. 最終的な答え-1