与えられた関数の極限 $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求めよ。

解析学極限関数の極限有理化平方根無限大
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 limx(x2+2x+x)\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、x2+2x+x\sqrt{x^2 + 2x} + xx2+2xxx2+2xx\frac{\sqrt{x^2 + 2x} - x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} を掛けて、分子を有理化します。
limx(x2+2x+x)=limx(x2+2x+x)(x2+2xx)x2+2xx\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} + x)(\sqrt{x^2 + 2x} - x)}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}
=limx(x2+2x)x2x2+2xx= \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2 + 2x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}
=limx2xx2+2xx= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}
xx \to -\infty なので、x<0x < 0 です。したがって、x2=x=x\sqrt{x^2} = |x| = -x となります。
limx2xx2+2xx=limx2xx2(1+2x)x\lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x})} - x}
=limx2xx1+2xx= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{|x|\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x}
=limx2xx1+2xx= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-x\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x}
=limx2xx(1+2x+1)= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-x(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)}
=limx2(1+2x+1)= \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)}
xx \to -\infty のとき 2x0\frac{2}{x} \to 0 なので、
=2(1+0+1)= \frac{2}{-(\sqrt{1 + 0} + 1)}
=2(1+1)= \frac{2}{-(1 + 1)}
=22= \frac{2}{-2}
=1= -1

3. 最終的な答え

-1

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