集合 $X$, $Y$ と写像 $f: X \rightarrow Y$ が与えられたとき、それぞれの写像が全射か単射かを判定し、全単射ならば逆写像を求める。問題は以下の通り。 (1) $X = \mathbb{R}$, $Y = (0, \infty)$, $f(x) = e^{2x-3}$ (2) $X = \mathbb{R} \setminus \{a\}$, $Y = \mathbb{R} \setminus \{c\}$, $f(x) = \frac{1}{x-a} + c$ (3) $X = \mathbb{R}$, $Y = [2, \infty)$, $f(x) = x^2 + 2$ (4) $X = [-1, 1]$, $Y = [0, 1]$, $f(x) = |2|x| - 1|$ (5) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}$, $f(x, y) = x + y$ (6) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = [0, \infty)$, $f(x, y) = x^2 + y^2$ (7) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-x, -y)$ (8) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-y, x)$

1. 問題の内容

集合 $X$, $Y$ と写像 $f: X \rightarrow Y$ が与えられたとき、それぞれの写像が全射か単射かを判定し、全単射ならば逆写像を求める。問題は以下の通り。

(1) $X = \mathbb{R}$, $Y = (0, \infty)$, $f(x) = e^{2x-3}$

(2) $X = \mathbb{R} \setminus \{a\}$, $Y = \mathbb{R} \setminus \{c\}$, $f(x) = \frac{1}{x-a} + c$

(3) $X = \mathbb{R}$, $Y = [2, \infty)$, $f(x) = x^2 + 2$

(4) $X = [-1, 1]$, $Y = [0, 1]$, $f(x) = |2|x| - 1|$

(5) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}$, $f(x, y) = x + y$

(6) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = [0, \infty)$, $f(x, y) = x^2 + y^2$

(7) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-x, -y)$

(8) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-y, x)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{2x-3}$:

まず、単射性について考える。$f(x_1) = f(x_2)$ とすると、$e^{2x_1 - 3} = e^{2x_2 - 3}$。指数関数は単射なので、$2x_1 - 3 = 2x_2 - 3$。よって、$x_1 = x_2$。したがって、$f$ は単射である。

次に、全射性について考える。任意の $y \in (0, \infty)$ に対して、$f(x) = y$ となる $x \in \mathbb{R}$ が存在するかを調べる。$e^{2x-3} = y$ を $x$ について解くと、$2x - 3 = \ln y$ より、$x = \frac{\ln y + 3}{2}$。$y > 0$ より $\ln y$ は定義されるので、$x \in \mathbb{R}$ が存在する。したがって、$f$ は全射である。

$f$ は全単射なので、逆写像を求める。$y = e^{2x-3}$ より、$x = \frac{\ln y + 3}{2}$。よって、$f^{-1}(y) = \frac{\ln y + 3}{2}$。

(2) $f(x) = \frac{1}{x-a} + c$:

まず、単射性について考える。$f(x_1) = f(x_2)$ とすると、$\frac{1}{x_1 - a} + c = \frac{1}{x_2 - a} + c$。よって、$\frac{1}{x_1 - a} = \frac{1}{x_2 - a}$。したがって、$x_1 - a = x_2 - a$ より、$x_1 = x_2$。したがって、$f$ は単射である。

次に、全射性について考える。任意の $y \in \mathbb{R} \setminus \{c\}$ に対して、$f(x) = y$ となる $x \in \mathbb{R} \setminus \{a\}$ が存在するかを調べる。$\frac{1}{x-a} + c = y$ を $x$ について解くと、$\frac{1}{x-a} = y - c$。よって、$x - a = \frac{1}{y-c}$ より、$x = \frac{1}{y-c} + a$。$y \neq c$ より、$x$ は定義される。また、$x \neq a$ である。なぜなら、$x = a$ とすると、$a = \frac{1}{y-c} + a$ より $\frac{1}{y-c} = 0$ となるが、これは不可能である。したがって、$f$ は全射である。

$f$ は全単射なので、逆写像を求める。$y = \frac{1}{x-a} + c$ より、$x = \frac{1}{y-c} + a$。よって、$f^{-1}(y) = \frac{1}{y-c} + a$。

(3) $f(x) = x^2 + 2$:

まず、単射性について考える。$f(1) = 1^2 + 2 = 3$、$f(-1) = (-1)^2 + 2 = 3$ より、$f(1) = f(-1)$ だが、$1 \neq -1$ なので、$f$ は単射ではない。

全射性について考える。$x \in \mathbb{R}$ なので、$x^2 \geq 0$。よって、$x^2 + 2 \geq 2$。したがって、$f(x) \in [2, \infty)$ であり、$f$ は全射である。

(4) $f(x) = |2|x| - 1|$:

$x \in [-1, 1]$ より、$|x| \in [0, 1]$。したがって、$2|x| \in [0, 2]$。よって、$2|x| - 1 \in [-1, 1]$。したがって、$|2|x| - 1| \in [0, 1]$。

単射性について考える。$f(0.5) = |2(0.5)-1| = 0$, $f(-0.5) = |2|-0.5|-1| = 0$ より、$f(0.5) = f(-0.5)$ だが、$0.5 \neq -0.5$ なので、$f$ は単射ではない。

全射性について考える。$f(1) = |2|1|-1| = 1$、$f(0) = |2|0|-1| = 1$。

$y \in [0, 1]$ とする。$|2|x| - 1| = y$ より、$2|x| - 1 = y$ または $2|x| - 1 = -y$。

$2|x| - 1 = y$ のとき、$2|x| = y + 1$ より $|x| = \frac{y+1}{2}$。よって、$x = \pm \frac{y+1}{2}$。$y \in [0, 1]$ より $\frac{y+1}{2} \in [\frac{1}{2}, 1]$。したがって、$x \in [-1, 1]$。

$2|x| - 1 = -y$ のとき、$2|x| = 1 - y$ より $|x| = \frac{1-y}{2}$。よって、$x = \pm \frac{1-y}{2}$。$y \in [0, 1]$ より $\frac{1-y}{2} \in [0, \frac{1}{2}]$。したがって、$x \in [-1, 1]$。

よって、$f$ は全射である。

(5) $f(x, y) = x + y$:

単射性について考える。$f(1, 0) = 1 + 0 = 1$、$f(0, 1) = 0 + 1 = 1$ より、$f(1, 0) = f(0, 1)$ だが、$(1, 0) \neq (0, 1)$ なので、$f$ は単射ではない。

全射性について考える。任意の $z \in \mathbb{R}$ に対して、$f(x, y) = z$ となる $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ が存在するかを調べる。例えば、$x = z$, $y = 0$ とすると、$f(z, 0) = z + 0 = z$ となる。したがって、$f$ は全射である。

(6) $f(x, y) = x^2 + y^2$:

単射性について考える。$f(1, 0) = 1^2 + 0^2 = 1$、$f(-1, 0) = (-1)^2 + 0^2 = 1$ より、$f(1, 0) = f(-1, 0)$ だが、$(1, 0) \neq (-1, 0)$ なので、$f$ は単射ではない。

全射性について考える。任意の $z \in [0, \infty)$ に対して、$f(x, y) = z$ となる $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ が存在するかを調べる。例えば、$x = \sqrt{z}$, $y = 0$ とすると、$f(\sqrt{z}, 0) = (\sqrt{z})^2 + 0^2 = z$ となる。したがって、$f$ は全射である。

(7) $f(x, y) = (-x, -y)$:

単射性について考える。$f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2)$ とすると、$(-x_1, -y_1) = (-x_2, -y_2)$。よって、$-x_1 = -x_2$ かつ $-y_1 = -y_2$ より、$x_1 = x_2$ かつ $y_1 = y_2$。したがって、$(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$。よって、$f$ は単射である。

全射性について考える。任意の $(u, v) \in \mathbb{R}^2$ に対して、$f(x, y) = (u, v)$ となる $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ が存在するかを調べる。$(-x, -y) = (u, v)$ より、$x = -u$ かつ $y = -v$ となる。よって、$f(-u, -v) = (u, v)$。したがって、$f$ は全射である。

全単射なので、逆写像を求める。$(u, v) = (-x, -y)$ より、$x = -u$ かつ $y = -v$。よって、$f^{-1}(u, v) = (-u, -v)$。

(8) $f(x, y) = (-y, x)$:

単射性について考える。$f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2)$ とすると、$(-y_1, x_1) = (-y_2, x_2)$。よって、$-y_1 = -y_2$ かつ $x_1 = x_2$ より、$y_1 = y_2$ かつ $x_1 = x_2$。したがって、$(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$。よって、$f$ は単射である。

全射性について考える。任意の $(u, v) \in \mathbb{R}^2$ に対して、$f(x, y) = (u, v)$ となる $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ が存在するかを調べる。$(-y, x) = (u, v)$ より、$y = -u$ かつ $x = v$ となる。よって、$f(v, -u) = (u, v)$。したがって、$f$ は全射である。

全単射なので、逆写像を求める。$(u, v) = (-y, x)$ より、$y = -u$ かつ $x = v$。よって、$f^{-1}(u, v) = (v, -u)$。

3. 最終的な答え

(1) 全単射。$f^{-1}(y) = \frac{\ln y + 3}{2}$。

(2) 全単射。$f^{-1}(y) = \frac{1}{y-c} + a$。

(3) 全射だが単射ではない。

(4) 全射だが単射ではない。

(5) 全射だが単射ではない。

(6) 全射だが単射ではない。

(7) 全単射。$f^{-1}(u, v) = (-u, -v)$。

(8) 全単射。$f^{-1}(u, v) = (v, -u)$。