集合 $X$, $Y$ と写像 $f: X \rightarrow Y$ が与えられたとき、それぞれの写像が全射か単射かを判定し、全単射ならば逆写像を求める。問題は以下の通り。 (1) $X = \mathbb{R}$, $Y = (0, \infty)$, $f(x) = e^{2x-3}$ (2) $X = \mathbb{R} \setminus \{a\}$, $Y = \mathbb{R} \setminus \{c\}$, $f(x) = \frac{1}{x-a} + c$ (3) $X = \mathbb{R}$, $Y = [2, \infty)$, $f(x) = x^2 + 2$ (4) $X = [-1, 1]$, $Y = [0, 1]$, $f(x) = |2|x| - 1|$ (5) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}$, $f(x, y) = x + y$ (6) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = [0, \infty)$, $f(x, y) = x^2 + y^2$ (7) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-x, -y)$ (8) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-y, x)$

解析学写像全射単射逆写像指数関数対数関数
2025/7/9

1. 問題の内容

集合 XX, YY と写像 f:XYf: X \rightarrow Y が与えられたとき、それぞれの写像が全射か単射かを判定し、全単射ならば逆写像を求める。問題は以下の通り。
(1) X=RX = \mathbb{R}, Y=(0,)Y = (0, \infty), f(x)=e2x3f(x) = e^{2x-3}
(2) X=R{a}X = \mathbb{R} \setminus \{a\}, Y=R{c}Y = \mathbb{R} \setminus \{c\}, f(x)=1xa+cf(x) = \frac{1}{x-a} + c
(3) X=RX = \mathbb{R}, Y=[2,)Y = [2, \infty), f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2
(4) X=[1,1]X = [-1, 1], Y=[0,1]Y = [0, 1], f(x)=2x1f(x) = |2|x| - 1|
(5) X=R2X = \mathbb{R}^2, Y=RY = \mathbb{R}, f(x,y)=x+yf(x, y) = x + y
(6) X=R2X = \mathbb{R}^2, Y=[0,)Y = [0, \infty), f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2
(7) X=R2X = \mathbb{R}^2, Y=R2Y = \mathbb{R}^2, f(x,y)=(x,y)f(x, y) = (-x, -y)
(8) X=R2X = \mathbb{R}^2, Y=R2Y = \mathbb{R}^2, f(x,y)=(y,x)f(x, y) = (-y, x)

2. 解き方の手順

(1) f(x)=e2x3f(x) = e^{2x-3}:
まず、単射性について考える。f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) とすると、e2x13=e2x23e^{2x_1 - 3} = e^{2x_2 - 3}。指数関数は単射なので、2x13=2x232x_1 - 3 = 2x_2 - 3。よって、x1=x2x_1 = x_2。したがって、ff は単射である。
次に、全射性について考える。任意の y(0,)y \in (0, \infty) に対して、f(x)=yf(x) = y となる xRx \in \mathbb{R} が存在するかを調べる。e2x3=ye^{2x-3} = yxx について解くと、2x3=lny2x - 3 = \ln y より、x=lny+32x = \frac{\ln y + 3}{2}y>0y > 0 より lny\ln y は定義されるので、xRx \in \mathbb{R} が存在する。したがって、ff は全射である。
ff は全単射なので、逆写像を求める。y=e2x3y = e^{2x-3} より、x=lny+32x = \frac{\ln y + 3}{2}。よって、f1(y)=lny+32f^{-1}(y) = \frac{\ln y + 3}{2}
(2) f(x)=1xa+cf(x) = \frac{1}{x-a} + c:
まず、単射性について考える。f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) とすると、1x1a+c=1x2a+c\frac{1}{x_1 - a} + c = \frac{1}{x_2 - a} + c。よって、1x1a=1x2a\frac{1}{x_1 - a} = \frac{1}{x_2 - a}。したがって、x1a=x2ax_1 - a = x_2 - a より、x1=x2x_1 = x_2。したがって、ff は単射である。
次に、全射性について考える。任意の yR{c}y \in \mathbb{R} \setminus \{c\} に対して、f(x)=yf(x) = y となる xR{a}x \in \mathbb{R} \setminus \{a\} が存在するかを調べる。1xa+c=y\frac{1}{x-a} + c = yxx について解くと、1xa=yc\frac{1}{x-a} = y - c。よって、xa=1ycx - a = \frac{1}{y-c} より、x=1yc+ax = \frac{1}{y-c} + aycy \neq c より、xx は定義される。また、xax \neq a である。なぜなら、x=ax = a とすると、a=1yc+aa = \frac{1}{y-c} + a より 1yc=0\frac{1}{y-c} = 0 となるが、これは不可能である。したがって、ff は全射である。
ff は全単射なので、逆写像を求める。y=1xa+cy = \frac{1}{x-a} + c より、x=1yc+ax = \frac{1}{y-c} + a。よって、f1(y)=1yc+af^{-1}(y) = \frac{1}{y-c} + a
(3) f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2:
まず、単射性について考える。f(1)=12+2=3f(1) = 1^2 + 2 = 3f(1)=(1)2+2=3f(-1) = (-1)^2 + 2 = 3 より、f(1)=f(1)f(1) = f(-1) だが、111 \neq -1 なので、ff は単射ではない。
全射性について考える。xRx \in \mathbb{R} なので、x20x^2 \geq 0。よって、x2+22x^2 + 2 \geq 2。したがって、f(x)[2,)f(x) \in [2, \infty) であり、ff は全射である。
(4) f(x)=2x1f(x) = |2|x| - 1|:
x[1,1]x \in [-1, 1] より、x[0,1]|x| \in [0, 1]。したがって、2x[0,2]2|x| \in [0, 2]。よって、2x1[1,1]2|x| - 1 \in [-1, 1]。したがって、2x1[0,1]|2|x| - 1| \in [0, 1]
単射性について考える。f(0.5)=2(0.5)1=0f(0.5) = |2(0.5)-1| = 0, f(0.5)=20.51=0f(-0.5) = |2|-0.5|-1| = 0 より、f(0.5)=f(0.5)f(0.5) = f(-0.5) だが、0.50.50.5 \neq -0.5 なので、ff は単射ではない。
全射性について考える。f(1)=211=1f(1) = |2|1|-1| = 1f(0)=201=1f(0) = |2|0|-1| = 1
y[0,1]y \in [0, 1] とする。2x1=y|2|x| - 1| = y より、2x1=y2|x| - 1 = y または 2x1=y2|x| - 1 = -y
2x1=y2|x| - 1 = y のとき、2x=y+12|x| = y + 1 より x=y+12|x| = \frac{y+1}{2}。よって、x=±y+12x = \pm \frac{y+1}{2}y[0,1]y \in [0, 1] より y+12[12,1]\frac{y+1}{2} \in [\frac{1}{2}, 1]。したがって、x[1,1]x \in [-1, 1]
2x1=y2|x| - 1 = -y のとき、2x=1y2|x| = 1 - y より x=1y2|x| = \frac{1-y}{2}。よって、x=±1y2x = \pm \frac{1-y}{2}y[0,1]y \in [0, 1] より 1y2[0,12]\frac{1-y}{2} \in [0, \frac{1}{2}]。したがって、x[1,1]x \in [-1, 1]
よって、ff は全射である。
(5) f(x,y)=x+yf(x, y) = x + y:
単射性について考える。f(1,0)=1+0=1f(1, 0) = 1 + 0 = 1f(0,1)=0+1=1f(0, 1) = 0 + 1 = 1 より、f(1,0)=f(0,1)f(1, 0) = f(0, 1) だが、(1,0)(0,1)(1, 0) \neq (0, 1) なので、ff は単射ではない。
全射性について考える。任意の zRz \in \mathbb{R} に対して、f(x,y)=zf(x, y) = z となる (x,y)R2(x, y) \in \mathbb{R}^2 が存在するかを調べる。例えば、x=zx = z, y=0y = 0 とすると、f(z,0)=z+0=zf(z, 0) = z + 0 = z となる。したがって、ff は全射である。
(6) f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2:
単射性について考える。f(1,0)=12+02=1f(1, 0) = 1^2 + 0^2 = 1f(1,0)=(1)2+02=1f(-1, 0) = (-1)^2 + 0^2 = 1 より、f(1,0)=f(1,0)f(1, 0) = f(-1, 0) だが、(1,0)(1,0)(1, 0) \neq (-1, 0) なので、ff は単射ではない。
全射性について考える。任意の z[0,)z \in [0, \infty) に対して、f(x,y)=zf(x, y) = z となる (x,y)R2(x, y) \in \mathbb{R}^2 が存在するかを調べる。例えば、x=zx = \sqrt{z}, y=0y = 0 とすると、f(z,0)=(z)2+02=zf(\sqrt{z}, 0) = (\sqrt{z})^2 + 0^2 = z となる。したがって、ff は全射である。
(7) f(x,y)=(x,y)f(x, y) = (-x, -y):
単射性について考える。f(x1,y1)=f(x2,y2)f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) とすると、(x1,y1)=(x2,y2)(-x_1, -y_1) = (-x_2, -y_2)。よって、x1=x2-x_1 = -x_2 かつ y1=y2-y_1 = -y_2 より、x1=x2x_1 = x_2 かつ y1=y2y_1 = y_2。したがって、(x1,y1)=(x2,y2)(x_1, y_1) = (x_2, y_2)。よって、ff は単射である。
全射性について考える。任意の (u,v)R2(u, v) \in \mathbb{R}^2 に対して、f(x,y)=(u,v)f(x, y) = (u, v) となる (x,y)R2(x, y) \in \mathbb{R}^2 が存在するかを調べる。(x,y)=(u,v)(-x, -y) = (u, v) より、x=ux = -u かつ y=vy = -v となる。よって、f(u,v)=(u,v)f(-u, -v) = (u, v)。したがって、ff は全射である。
全単射なので、逆写像を求める。(u,v)=(x,y)(u, v) = (-x, -y) より、x=ux = -u かつ y=vy = -v。よって、f1(u,v)=(u,v)f^{-1}(u, v) = (-u, -v)
(8) f(x,y)=(y,x)f(x, y) = (-y, x):
単射性について考える。f(x1,y1)=f(x2,y2)f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) とすると、(y1,x1)=(y2,x2)(-y_1, x_1) = (-y_2, x_2)。よって、y1=y2-y_1 = -y_2 かつ x1=x2x_1 = x_2 より、y1=y2y_1 = y_2 かつ x1=x2x_1 = x_2。したがって、(x1,y1)=(x2,y2)(x_1, y_1) = (x_2, y_2)。よって、ff は単射である。
全射性について考える。任意の (u,v)R2(u, v) \in \mathbb{R}^2 に対して、f(x,y)=(u,v)f(x, y) = (u, v) となる (x,y)R2(x, y) \in \mathbb{R}^2 が存在するかを調べる。(y,x)=(u,v)(-y, x) = (u, v) より、y=uy = -u かつ x=vx = v となる。よって、f(v,u)=(u,v)f(v, -u) = (u, v)。したがって、ff は全射である。
全単射なので、逆写像を求める。(u,v)=(y,x)(u, v) = (-y, x) より、y=uy = -u かつ x=vx = v。よって、f1(u,v)=(v,u)f^{-1}(u, v) = (v, -u)

3. 最終的な答え

(1) 全単射。f1(y)=lny+32f^{-1}(y) = \frac{\ln y + 3}{2}
(2) 全単射。f1(y)=1yc+af^{-1}(y) = \frac{1}{y-c} + a
(3) 全射だが単射ではない。
(4) 全射だが単射ではない。
(5) 全射だが単射ではない。
(6) 全射だが単射ではない。
(7) 全単射。f1(u,v)=(u,v)f^{-1}(u, v) = (-u, -v)
(8) 全単射。f1(u,v)=(v,u)f^{-1}(u, v) = (v, -u)

「解析学」の関連問題

問題は、$u = u(x, y)$ かつ $x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$ であるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $\frac{\partial...

偏微分合成関数の微分座標変換
2025/7/9

この問題は、三角関数の値を計算したり、三角関数を含む式を簡単にしたり、三角関数の方程式や不等式を解いたり、三角関数を含む式の最大値と最小値を求める問題です。具体的には、以下の8つの小問があります。 (...

三角関数三角関数の値三角関数の計算三角関数の最大最小三角関数の方程式三角関数の不等式
2025/7/9

次の極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 8x + 4}{2x^2 + 3x + 7}$ (2) $\lim_{x \to 4} \fr...

極限ロピタルの定理三角関数対数関数
2025/7/9

以下の4つの関数を微分する問題です。4)では $a$ は定数です。 1) $(3x-1)^5$ 2) $\sin(2x^2+1)$ 3) $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ 4) $(e...

微分合成関数の微分指数関数三角関数
2025/7/9

与えられた4つの関数を微分する問題です。 1. $y = (3x-1)^5$

微分合成関数の微分導関数
2025/7/9

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx$ の値を求めます。

定積分絶対値積分
2025/7/9

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)| dx$ を計算する問題です。

定積分絶対値積分計算
2025/7/9

関数 $y = x + \sin x$ の区間 $I = [0, 2\pi]$ における増減を調べる問題です。微分 $y'$ を求め、$y' = 0$ となる $x$ の値を求め、増減表を作成して関数...

微分関数の増減三角関数増減表単調増加
2025/7/9

媒介変数 $t$ を用いて、$x(t) = 3\cos t + 2\cos\frac{3}{2}t$、$y(t) = 3\sin t - 2\sin\frac{3}{2}t$ と表される曲線 $C$ ...

媒介変数微分接線三角関数
2025/7/9

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ ($-\pi \le x < \pi$) のフーリエ級数を求める問題です。

フーリエ級数三角関数積分
2025/7/9