集合 $X$, $Y$ と写像 $f: X \rightarrow Y$ が与えられたとき、それぞれの写像が全射か単射かを判定し、全単射ならば逆写像を求める。問題は以下の通り。 (1) $X = \mathbb{R}$, $Y = (0, \infty)$, $f(x) = e^{2x-3}$ (2) $X = \mathbb{R} \setminus \{a\}$, $Y = \mathbb{R} \setminus \{c\}$, $f(x) = \frac{1}{x-a} + c$ (3) $X = \mathbb{R}$, $Y = [2, \infty)$, $f(x) = x^2 + 2$ (4) $X = [-1, 1]$, $Y = [0, 1]$, $f(x) = |2|x| - 1|$ (5) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}$, $f(x, y) = x + y$ (6) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = [0, \infty)$, $f(x, y) = x^2 + y^2$ (7) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-x, -y)$ (8) $X = \mathbb{R}^2$, $Y = \mathbb{R}^2$, $f(x, y) = (-y, x)$

解析学写像全射単射逆写像指数関数対数関数
2025/7/9

1. 問題の内容

集合 XX, YY と写像 f:XYf: X \rightarrow Y が与えられたとき、それぞれの写像が全射か単射かを判定し、全単射ならば逆写像を求める。問題は以下の通り。
(1) X=RX = \mathbb{R}, Y=(0,)Y = (0, \infty), f(x)=e2x3f(x) = e^{2x-3}
(2) X=R{a}X = \mathbb{R} \setminus \{a\}, Y=R{c}Y = \mathbb{R} \setminus \{c\}, f(x)=1xa+cf(x) = \frac{1}{x-a} + c
(3) X=RX = \mathbb{R}, Y=[2,)Y = [2, \infty), f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2
(4) X=[1,1]X = [-1, 1], Y=[0,1]Y = [0, 1], f(x)=2x1f(x) = |2|x| - 1|
(5) X=R2X = \mathbb{R}^2, Y=RY = \mathbb{R}, f(x,y)=x+yf(x, y) = x + y
(6) X=R2X = \mathbb{R}^2, Y=[0,)Y = [0, \infty), f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2
(7) X=R2X = \mathbb{R}^2, Y=R2Y = \mathbb{R}^2, f(x,y)=(x,y)f(x, y) = (-x, -y)
(8) X=R2X = \mathbb{R}^2, Y=R2Y = \mathbb{R}^2, f(x,y)=(y,x)f(x, y) = (-y, x)

2. 解き方の手順

(1) f(x)=e2x3f(x) = e^{2x-3}:
まず、単射性について考える。f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) とすると、e2x13=e2x23e^{2x_1 - 3} = e^{2x_2 - 3}。指数関数は単射なので、2x13=2x232x_1 - 3 = 2x_2 - 3。よって、x1=x2x_1 = x_2。したがって、ff は単射である。
次に、全射性について考える。任意の y(0,)y \in (0, \infty) に対して、f(x)=yf(x) = y となる xRx \in \mathbb{R} が存在するかを調べる。e2x3=ye^{2x-3} = yxx について解くと、2x3=lny2x - 3 = \ln y より、x=lny+32x = \frac{\ln y + 3}{2}y>0y > 0 より lny\ln y は定義されるので、xRx \in \mathbb{R} が存在する。したがって、ff は全射である。
ff は全単射なので、逆写像を求める。y=e2x3y = e^{2x-3} より、x=lny+32x = \frac{\ln y + 3}{2}。よって、f1(y)=lny+32f^{-1}(y) = \frac{\ln y + 3}{2}
(2) f(x)=1xa+cf(x) = \frac{1}{x-a} + c:
まず、単射性について考える。f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) とすると、1x1a+c=1x2a+c\frac{1}{x_1 - a} + c = \frac{1}{x_2 - a} + c。よって、1x1a=1x2a\frac{1}{x_1 - a} = \frac{1}{x_2 - a}。したがって、x1a=x2ax_1 - a = x_2 - a より、x1=x2x_1 = x_2。したがって、ff は単射である。
次に、全射性について考える。任意の yR{c}y \in \mathbb{R} \setminus \{c\} に対して、f(x)=yf(x) = y となる xR{a}x \in \mathbb{R} \setminus \{a\} が存在するかを調べる。1xa+c=y\frac{1}{x-a} + c = yxx について解くと、1xa=yc\frac{1}{x-a} = y - c。よって、xa=1ycx - a = \frac{1}{y-c} より、x=1yc+ax = \frac{1}{y-c} + aycy \neq c より、xx は定義される。また、xax \neq a である。なぜなら、x=ax = a とすると、a=1yc+aa = \frac{1}{y-c} + a より 1yc=0\frac{1}{y-c} = 0 となるが、これは不可能である。したがって、ff は全射である。
ff は全単射なので、逆写像を求める。y=1xa+cy = \frac{1}{x-a} + c より、x=1yc+ax = \frac{1}{y-c} + a。よって、f1(y)=1yc+af^{-1}(y) = \frac{1}{y-c} + a
(3) f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2:
まず、単射性について考える。f(1)=12+2=3f(1) = 1^2 + 2 = 3f(1)=(1)2+2=3f(-1) = (-1)^2 + 2 = 3 より、f(1)=f(1)f(1) = f(-1) だが、111 \neq -1 なので、ff は単射ではない。
全射性について考える。xRx \in \mathbb{R} なので、x20x^2 \geq 0。よって、x2+22x^2 + 2 \geq 2。したがって、f(x)[2,)f(x) \in [2, \infty) であり、ff は全射である。
(4) f(x)=2x1f(x) = |2|x| - 1|:
x[1,1]x \in [-1, 1] より、x[0,1]|x| \in [0, 1]。したがって、2x[0,2]2|x| \in [0, 2]。よって、2x1[1,1]2|x| - 1 \in [-1, 1]。したがって、2x1[0,1]|2|x| - 1| \in [0, 1]
単射性について考える。f(0.5)=2(0.5)1=0f(0.5) = |2(0.5)-1| = 0, f(0.5)=20.51=0f(-0.5) = |2|-0.5|-1| = 0 より、f(0.5)=f(0.5)f(0.5) = f(-0.5) だが、0.50.50.5 \neq -0.5 なので、ff は単射ではない。
全射性について考える。f(1)=211=1f(1) = |2|1|-1| = 1f(0)=201=1f(0) = |2|0|-1| = 1
y[0,1]y \in [0, 1] とする。2x1=y|2|x| - 1| = y より、2x1=y2|x| - 1 = y または 2x1=y2|x| - 1 = -y
2x1=y2|x| - 1 = y のとき、2x=y+12|x| = y + 1 より x=y+12|x| = \frac{y+1}{2}。よって、x=±y+12x = \pm \frac{y+1}{2}y[0,1]y \in [0, 1] より y+12[12,1]\frac{y+1}{2} \in [\frac{1}{2}, 1]。したがって、x[1,1]x \in [-1, 1]
2x1=y2|x| - 1 = -y のとき、2x=1y2|x| = 1 - y より x=1y2|x| = \frac{1-y}{2}。よって、x=±1y2x = \pm \frac{1-y}{2}y[0,1]y \in [0, 1] より 1y2[0,12]\frac{1-y}{2} \in [0, \frac{1}{2}]。したがって、x[1,1]x \in [-1, 1]
よって、ff は全射である。
(5) f(x,y)=x+yf(x, y) = x + y:
単射性について考える。f(1,0)=1+0=1f(1, 0) = 1 + 0 = 1f(0,1)=0+1=1f(0, 1) = 0 + 1 = 1 より、f(1,0)=f(0,1)f(1, 0) = f(0, 1) だが、(1,0)(0,1)(1, 0) \neq (0, 1) なので、ff は単射ではない。
全射性について考える。任意の zRz \in \mathbb{R} に対して、f(x,y)=zf(x, y) = z となる (x,y)R2(x, y) \in \mathbb{R}^2 が存在するかを調べる。例えば、x=zx = z, y=0y = 0 とすると、f(z,0)=z+0=zf(z, 0) = z + 0 = z となる。したがって、ff は全射である。
(6) f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2:
単射性について考える。f(1,0)=12+02=1f(1, 0) = 1^2 + 0^2 = 1f(1,0)=(1)2+02=1f(-1, 0) = (-1)^2 + 0^2 = 1 より、f(1,0)=f(1,0)f(1, 0) = f(-1, 0) だが、(1,0)(1,0)(1, 0) \neq (-1, 0) なので、ff は単射ではない。
全射性について考える。任意の z[0,)z \in [0, \infty) に対して、f(x,y)=zf(x, y) = z となる (x,y)R2(x, y) \in \mathbb{R}^2 が存在するかを調べる。例えば、x=zx = \sqrt{z}, y=0y = 0 とすると、f(z,0)=(z)2+02=zf(\sqrt{z}, 0) = (\sqrt{z})^2 + 0^2 = z となる。したがって、ff は全射である。
(7) f(x,y)=(x,y)f(x, y) = (-x, -y):
単射性について考える。f(x1,y1)=f(x2,y2)f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) とすると、(x1,y1)=(x2,y2)(-x_1, -y_1) = (-x_2, -y_2)。よって、x1=x2-x_1 = -x_2 かつ y1=y2-y_1 = -y_2 より、x1=x2x_1 = x_2 かつ y1=y2y_1 = y_2。したがって、(x1,y1)=(x2,y2)(x_1, y_1) = (x_2, y_2)。よって、ff は単射である。
全射性について考える。任意の (u,v)R2(u, v) \in \mathbb{R}^2 に対して、f(x,y)=(u,v)f(x, y) = (u, v) となる (x,y)R2(x, y) \in \mathbb{R}^2 が存在するかを調べる。(x,y)=(u,v)(-x, -y) = (u, v) より、x=ux = -u かつ y=vy = -v となる。よって、f(u,v)=(u,v)f(-u, -v) = (u, v)。したがって、ff は全射である。
全単射なので、逆写像を求める。(u,v)=(x,y)(u, v) = (-x, -y) より、x=ux = -u かつ y=vy = -v。よって、f1(u,v)=(u,v)f^{-1}(u, v) = (-u, -v)
(8) f(x,y)=(y,x)f(x, y) = (-y, x):
単射性について考える。f(x1,y1)=f(x2,y2)f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) とすると、(y1,x1)=(y2,x2)(-y_1, x_1) = (-y_2, x_2)。よって、y1=y2-y_1 = -y_2 かつ x1=x2x_1 = x_2 より、y1=y2y_1 = y_2 かつ x1=x2x_1 = x_2。したがって、(x1,y1)=(x2,y2)(x_1, y_1) = (x_2, y_2)。よって、ff は単射である。
全射性について考える。任意の (u,v)R2(u, v) \in \mathbb{R}^2 に対して、f(x,y)=(u,v)f(x, y) = (u, v) となる (x,y)R2(x, y) \in \mathbb{R}^2 が存在するかを調べる。(y,x)=(u,v)(-y, x) = (u, v) より、y=uy = -u かつ x=vx = v となる。よって、f(v,u)=(u,v)f(v, -u) = (u, v)。したがって、ff は全射である。
全単射なので、逆写像を求める。(u,v)=(y,x)(u, v) = (-y, x) より、y=uy = -u かつ x=vx = v。よって、f1(u,v)=(v,u)f^{-1}(u, v) = (v, -u)

3. 最終的な答え

(1) 全単射。f1(y)=lny+32f^{-1}(y) = \frac{\ln y + 3}{2}
(2) 全単射。f1(y)=1yc+af^{-1}(y) = \frac{1}{y-c} + a
(3) 全射だが単射ではない。
(4) 全射だが単射ではない。
(5) 全射だが単射ではない。
(6) 全射だが単射ではない。
(7) 全単射。f1(u,v)=(u,v)f^{-1}(u, v) = (-u, -v)
(8) 全単射。f1(u,v)=(v,u)f^{-1}(u, v) = (v, -u)

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