与えられた関数の $x$ が無限大に近づくときの極限を求めます。つまり、$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数の $x$ が無限大に近づくときの極限を求めます。つまり、$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、まず式を変形します。$\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}$ に共役な式 $\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}$ を掛けて割ります。

$$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$$

分子を計算すると、差の二乗の公式により

$$(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}) = (x+2) - (x+1) = 1$$

となるので、

$$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}$$

となります。

ここで、$x \to \infty$ のとき、$\sqrt{x+2} \to \infty$ および $\sqrt{x+1} \to \infty$ であるため、$\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1} \to \infty$ となります。したがって、分母は無限大に発散するため、極限は0になります。

$$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = 0$$

3. 最終的な答え

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