与えられた関数の $x$ が無限大に近づくときの極限を求めます。つまり、$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})$ を計算します。

解析学極限関数の極限ルート無限大
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた関数の xx が無限大に近づくときの極限を求めます。つまり、limx(x+2x+1)\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、まず式を変形します。x+2x+1\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1} に共役な式 x+2+x+1\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1} を掛けて割ります。
limx(x+2x+1)=limx(x+2x+1)(x+2+x+1)x+2+x+1\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}
分子を計算すると、差の二乗の公式により
(x+2x+1)(x+2+x+1)=(x+2)(x+1)=1 (\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}) = (x+2) - (x+1) = 1
となるので、
limx1x+2+x+1\lim_{x\to\infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}}
となります。
ここで、xx \to \infty のとき、x+2\sqrt{x+2} \to \infty および x+1\sqrt{x+1} \to \infty であるため、x+2+x+1\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1} \to \infty となります。したがって、分母は無限大に発散するため、極限は0になります。
limx1x+2+x+1=0\lim_{x\to\infty} \frac{1}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1}} = 0

3. 最終的な答え

0

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## 1. 問題の内容

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