次の2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{1} x(1-x)^5 dx$ (2) $\int_{2}^{5} x \sqrt{x-1} dx$

1. 問題の内容

次の2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{1} x(1-x)^5 dx$

(2) $\int_{2}^{5} x \sqrt{x-1} dx$

2. 解き方の手順

(1) 定積分 $\int_{0}^{1} x(1-x)^5 dx$ を計算します。

$t = 1 - x$ と置換すると、$x = 1 - t$ かつ $dx = -dt$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。$x=0$ のとき $t=1$, $x=1$ のとき $t=0$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{1} x(1-x)^5 dx = \int_{1}^{0} (1-t)t^5 (-dt) = \int_{0}^{1} (1-t)t^5 dt = \int_{0}^{1} (t^5 - t^6) dt$

$= \left[ \frac{t^6}{6} - \frac{t^7}{7} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7} = \frac{7 - 6}{42} = \frac{1}{42}$

(2) 定積分 $\int_{2}^{5} x \sqrt{x-1} dx$ を計算します。

$t = x - 1$ と置換すると、$x = t + 1$ かつ $dx = dt$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。$x=2$ のとき $t=1$, $x=5$ のとき $t=4$ となります。

したがって、

$\int_{2}^{5} x \sqrt{x-1} dx = \int_{1}^{4} (t+1) \sqrt{t} dt = \int_{1}^{4} (t^{3/2} + t^{1/2}) dt$

$= \left[ \frac{2}{5} t^{5/2} + \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_{1}^{4} = \left( \frac{2}{5} (4)^{5/2} + \frac{2}{3} (4)^{3/2} \right) - \left( \frac{2}{5} (1)^{5/2} + \frac{2}{3} (1)^{3/2} \right)$

$= \left( \frac{2}{5} (32) + \frac{2}{3} (8) \right) - \left( \frac{2}{5} + \frac{2}{3} \right) = \frac{64}{5} + \frac{16}{3} - \frac{2}{5} - \frac{2}{3} = \frac{62}{5} + \frac{14}{3} = \frac{62 \cdot 3 + 14 \cdot 5}{15} = \frac{186 + 70}{15} = \frac{256}{15}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{42}$

(2) $\frac{256}{15}$