以下の関数を微分する問題です。 a) $\sin(2x)$ b) $\sin^2(x)$ c) $\cos^{-1}(2x)$ (逆余弦関数) d) $\frac{\cos x}{\sin x}$

解析学微分合成関数の微分逆三角関数商の微分
2025/7/9

1. 問題の内容

以下の関数を微分する問題です。
a) sin(2x)\sin(2x)
b) sin2(x)\sin^2(x)
c) cos1(2x)\cos^{-1}(2x) (逆余弦関数)
d) cosxsinx\frac{\cos x}{\sin x}

2. 解き方の手順

a) sin(2x)\sin(2x) の微分
合成関数の微分公式を使います。u=2xu = 2x とすると、ddxsin(u)=cos(u)dudx\frac{d}{dx} \sin(u) = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx} です。
dudx=ddx(2x)=2\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (2x) = 2
したがって、
ddxsin(2x)=cos(2x)2=2cos(2x)\frac{d}{dx} \sin(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)
b) sin2(x)\sin^2(x) の微分
合成関数の微分公式を使います。u=sin(x)u = \sin(x) とすると、ddxu2=2ududx\frac{d}{dx} u^2 = 2u \cdot \frac{du}{dx} です。
dudx=ddxsin(x)=cos(x)\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)
したがって、
ddxsin2(x)=2sin(x)cos(x)=2sin(x)cos(x)\frac{d}{dx} \sin^2(x) = 2\sin(x) \cdot \cos(x) = 2\sin(x)\cos(x)
これは、sin(2x)\sin(2x) の倍角の公式を用いて、sin(2x)\sin(2x)と表すこともできます。
c) cos1(2x)\cos^{-1}(2x) の微分
逆三角関数の微分公式を使います。ddxcos1(x)=11x2\frac{d}{dx} \cos^{-1}(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} です。
u=2xu=2xとすると、
ddxcos1(u)=11u2dudx\frac{d}{dx} \cos^{-1}(u) = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx} です。
dudx=ddx(2x)=2\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (2x) = 2
したがって、
ddxcos1(2x)=11(2x)22=214x2\frac{d}{dx} \cos^{-1}(2x) = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}
d) cosxsinx\frac{\cos x}{\sin x} の微分
商の微分公式を使います。 ddx(uv)=uvuvv2\frac{d}{dx} \left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} です。
u=cosxu = \cos x, v=sinxv = \sin x とすると、 u=sinxu' = -\sin x, v=cosxv' = \cos x です。
したがって、
ddx(cosxsinx)=(sinx)(sinx)(cosx)(cosx)sin2x=sin2xcos2xsin2x=(sin2x+cos2x)sin2x=1sin2x=csc2x\frac{d}{dx} \left(\frac{\cos x}{\sin x}\right) = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{\sin^2 x} = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x

3. 最終的な答え

a) ddxsin(2x)=2cos(2x)\frac{d}{dx} \sin(2x) = 2\cos(2x)
b) ddxsin2(x)=2sin(x)cos(x)=sin(2x)\frac{d}{dx} \sin^2(x) = 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)
c) ddxcos1(2x)=214x2\frac{d}{dx} \cos^{-1}(2x) = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}
d) ddxcosxsinx=1sin2x=csc2x\frac{d}{dx} \frac{\cos x}{\sin x} = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x

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