与えられた関数を微分する問題です。今回は、以下の3つの関数を微分します。 (3) $y = \sqrt{\tan x}$ (5) $y = \log |1-x^2|$ (7) $y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。今回は、以下の3つの関数を微分します。

(3) $y = \sqrt{\tan x}$

(5) $y = \log |1-x^2|$

(7) $y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$

2. 解き方の手順

(3) $y = \sqrt{\tan x}$ の微分

まず、$y = \sqrt{u}$ と $u = \tan x$ と置きます。

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ で計算します。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}$

したがって、

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\tan x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\sqrt{\tan x} \cos^2 x}$

$\cos^2 x = \frac{1}{\sec^2 x} = \frac{1}{1 + \tan^2 x}$より

$y' = \frac{1 + \tan^2 x}{2\sqrt{\tan x}}$

(5) $y = \log |1-x^2|$ の微分

$y = \log |u|$ と $u = 1 - x^2$ と置きます。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = -2x$

したがって、

$y' = \frac{1}{1 - x^2} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{1 - x^2} = \frac{2x}{x^2 - 1}$

(7) $y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$ の微分

$y = \frac{1}{\log u}$ と $u = x^2 + 1$ と置きます。

$\frac{dy}{du} = \frac{-1}{(\log u)^2} \cdot \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

したがって、

$y' = \frac{-1}{(\log (x^2 + 1))^2} \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{-2x}{(x^2 + 1)(\log(x^2 + 1))^2}$

3. 最終的な答え

(3) $y' = \frac{1 + \tan^2 x}{2\sqrt{\tan x}}$

(5) $y' = \frac{2x}{x^2 - 1}$

(7) $y' = \frac{-2x}{(x^2 + 1)(\log(x^2 + 1))^2}$