与えられた関数を微分する問題です。今回は、以下の3つの関数を微分します。 (3) $y = \sqrt{\tan x}$ (5) $y = \log |1-x^2|$ (7) $y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}$

解析学微分合成関数の微分三角関数対数関数
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。今回は、以下の3つの関数を微分します。
(3) y=tanxy = \sqrt{\tan x}
(5) y=log1x2y = \log |1-x^2|
(7) y=1log(x2+1)y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)}

2. 解き方の手順

(3) y=tanxy = \sqrt{\tan x} の微分
まず、y=uy = \sqrt{u}u=tanxu = \tan x と置きます。
y=dydx=dydududxy' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} で計算します。
dydu=12u\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}
dudx=1cos2x\frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x}
したがって、
y=12tanx1cos2x=12tanxcos2xy' = \frac{1}{2\sqrt{\tan x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\sqrt{\tan x} \cos^2 x}
cos2x=1sec2x=11+tan2x\cos^2 x = \frac{1}{\sec^2 x} = \frac{1}{1 + \tan^2 x}より
y=1+tan2x2tanxy' = \frac{1 + \tan^2 x}{2\sqrt{\tan x}}
(5) y=log1x2y = \log |1-x^2| の微分
y=loguy = \log |u|u=1x2u = 1 - x^2 と置きます。
dydu=1u\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}
dudx=2x\frac{du}{dx} = -2x
したがって、
y=11x2(2x)=2x1x2=2xx21y' = \frac{1}{1 - x^2} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{1 - x^2} = \frac{2x}{x^2 - 1}
(7) y=1log(x2+1)y = \frac{1}{\log(x^2 + 1)} の微分
y=1loguy = \frac{1}{\log u}u=x2+1u = x^2 + 1 と置きます。
dydu=1(logu)21u\frac{dy}{du} = \frac{-1}{(\log u)^2} \cdot \frac{1}{u}
dudx=2x\frac{du}{dx} = 2x
したがって、
y=1(log(x2+1))21x2+12x=2x(x2+1)(log(x2+1))2y' = \frac{-1}{(\log (x^2 + 1))^2} \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{-2x}{(x^2 + 1)(\log(x^2 + 1))^2}

3. 最終的な答え

(3) y=1+tan2x2tanxy' = \frac{1 + \tan^2 x}{2\sqrt{\tan x}}
(5) y=2xx21y' = \frac{2x}{x^2 - 1}
(7) y=2x(x2+1)(log(x2+1))2y' = \frac{-2x}{(x^2 + 1)(\log(x^2 + 1))^2}

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