問題は、以下の3つの関数の定義域と値域を求め、グラフを描くことです。 (1) $y = \sqrt{x+2}$ (2) $y = \sqrt{x-1}$ (3) $y = \sqrt{x-2} - 1$

解析学関数定義域値域グラフ平方根
2025/7/9

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの関数の定義域と値域を求め、グラフを描くことです。
(1) y=x+2y = \sqrt{x+2}
(2) y=x1y = \sqrt{x-1}
(3) y=x21y = \sqrt{x-2} - 1

2. 解き方の手順

(1) y=x+2y = \sqrt{x+2}
* 定義域:根号の中身が0以上である必要があるため、x+20x+2 \ge 0。したがって、x2x \ge -2
* 値域:平方根は0以上の値しか取らないため、y0y \ge 0
(2) y=x1y = \sqrt{x-1}
* 定義域:根号の中身が0以上である必要があるため、x10x-1 \ge 0。したがって、x1x \ge 1
* 値域:平方根は0以上の値しか取らないため、y0y \ge 0
(3) y=x21y = \sqrt{x-2} - 1
* 定義域:根号の中身が0以上である必要があるため、x20x-2 \ge 0。したがって、x2x \ge 2
* 値域:x2\sqrt{x-2}は0以上の値しか取らないため、y=x211y = \sqrt{x-2} - 1 \ge -1。したがって、y1y \ge -1
グラフについて:
各関数のグラフは、基本的な平方根関数 y=xy = \sqrt{x} を平行移動したものです。
(1) y=x+2y = \sqrt{x+2} のグラフは、y=xy = \sqrt{x} のグラフをx軸方向に-2だけ平行移動したものです。
(2) y=x1y = \sqrt{x-1} のグラフは、y=xy = \sqrt{x} のグラフをx軸方向に1だけ平行移動したものです。
(3) y=x21y = \sqrt{x-2} - 1 のグラフは、y=xy = \sqrt{x} のグラフをx軸方向に2だけ、y軸方向に-1だけ平行移動したものです。

3. 最終的な答え

(1) y=x+2y = \sqrt{x+2}
* 定義域:x2x \ge -2
* 値域:y0y \ge 0
(2) y=x1y = \sqrt{x-1}
* 定義域:x1x \ge 1
* 値域:y0y \ge 0
(3) y=x21y = \sqrt{x-2} - 1
* 定義域:x2x \ge 2
* 値域:y1y \ge -1

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