問題文は、2つの関数 $f(x) = x^3 + px^2 + qx + \frac{7}{2}$ と $g(x) = x^2 + 8x + r$ について、以下の問いに答えるものです。 (1) $f(x)$ が $x=0$ と $x=1$ で極値を持つという条件から、$p$、$q$ の値を求め、さらに $f(x)$ の極大値と極小値を求めます。 (2) 曲線 $C: y=f(x)$ 上の点 $P(s, f(s))$ ($s<0$) を通る放物線 $D: y=g(x)$ が点 $P$ で接するという条件から、$s$ と $r$ の値を求めます。また、点 $P$ における $D$ の接線 $l$ の方程式を求めます。 (3) (2) で求めた $r$ の値を用い、$0 < t < 1$ を満たす実数 $t$ に対して、放物線 $D$、直線 $l$、および2直線 $x=t-2$、$x=2t-1$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S(t)$ を $t$ の式で表し、$S(t)$ が最小となるときの $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題文は、2つの関数 $f(x) = x^3 + px^2 + qx + \frac{7}{2}$ と $g(x) = x^2 + 8x + r$ について、以下の問いに答えるものです。

(1) $f(x)$ が $x=0$ と $x=1$ で極値を持つという条件から、$p$、$q$ の値を求め、さらに $f(x)$ の極大値と極小値を求めます。

(2) 曲線 $C: y=f(x)$ 上の点 $P(s, f(s))$ ($s<0$) を通る放物線 $D: y=g(x)$ が点 $P$ で接するという条件から、$s$ と $r$ の値を求めます。また、点 $P$ における $D$ の接線 $l$ の方程式を求めます。

(3) (2) で求めた $r$ の値を用い、$0 < t < 1$ を満たす実数 $t$ に対して、放物線 $D$、直線 $l$、および2直線 $x=t-2$、$x=2t-1$ で囲まれた2つの部分の面積の和 $S(t)$ を $t$ の式で表し、$S(t)$ が最小となるときの $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$f'(x) = 3x^2 + 2px + q$

$f(x)$ が $x=0$ と $x=1$ で極値を持つので、$f'(0) = 0$ かつ $f'(1) = 0$ です。

$f'(0) = q = 0$

$f'(1) = 3 + 2p + q = 0$

$q = 0$ なので、$2p = -3$ より $p = -\frac{3}{2}$

したがって、$f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{7}{2}$

$f'(x) = 3x^2 - 3x = 3x(x-1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, 1$

$x = 0$ のとき、$f(0) = \frac{7}{2}$

$x = 1$ のとき、$f(1) = 1 - \frac{3}{2} + \frac{7}{2} = \frac{2 - 3 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x < 0$ で $f'(x) > 0$, $0 < x < 1$ で $f'(x) < 0$ なので、$x = 0$ で極大値 $\frac{7}{2}$ をとります。

$x > 1$ で $f'(x) > 0$ なので、$x = 1$ で極小値 $3$ をとります。

(2)

$f(s) = g(s)$ かつ $f'(s) = g'(s)$ より

$f(s) = s^3 - \frac{3}{2}s^2 + \frac{7}{2} = s^2 + 8s + r$

$f'(s) = 3s^2 - 3s = 2s + 8 = g'(s)$

$3s^2 - 5s - 8 = 0$

$(3s - 8)(s + 1) = 0$

$s = \frac{8}{3}, -1$

$s < 0$ より $s = -1$

$g(s) = g(-1) = 1 - 8 + r = -7 + r$

$f(s) = f(-1) = -1 - \frac{3}{2} + \frac{7}{2} = -1 + \frac{4}{2} = 1$

$-7 + r = 1$ より $r = 8$

$g'(s) = g'(-1) = 2(-1) + 8 = 6$

$y = 6(x + 1) + 1$

$y = 6x + 6 + 1$

$y = 6x + 7$

(3)

$r = 8$

$g(x) = x^2 + 8x + 8$

直線 $l$ は $y = 6x + 7$

$S(t) = \int_{t-2}^{2t-1} |(x^2 + 8x + 8) - (6x+7)| dx$

$S(t) = \int_{t-2}^{2t-1} |x^2 + 2x + 1| dx = \int_{t-2}^{2t-1} (x+1)^2 dx$

$S(t) = \left[ \frac{1}{3}(x+1)^3 \right]_{t-2}^{2t-1} = \frac{1}{3}\left[ (2t)^3 - (t-1)^3 \right]$

$S(t) = \frac{1}{3}\left[ 8t^3 - (t^3 - 3t^2 + 3t - 1) \right]$

$S(t) = \frac{1}{3}\left[ 7t^3 + 3t^2 - 3t + 1 \right] = \frac{7}{3}t^3 + t^2 - t + \frac{1}{3}$

$S'(t) = 7t^2 + 2t - 1$

$S'(t) = 0$ とすると、$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 28}}{14} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{14} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{2}}{14} = \frac{-1 \pm 2\sqrt{2}}{7}$

$0 < t < 1$ なので、$t = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{7}$

3. 最終的な答え

(1)

$p = -\frac{3}{2}$, $q = 0$

極大値は $\frac{7}{2}$、極小値は $3$

(2)

$s = -1$, $r = 8$

$y = 6x + 7$

(3)

$S(t) = \frac{7}{3}t^3 + t^2 - t + \frac{1}{3}$

$t = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{7}$