アステロイド曲線 $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$, $a > 0$) で囲まれた図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

アステロイド曲線 $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$, $a > 0$) で囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

アステロイドはx軸、y軸に関して対称なので、第一象限の面積を求めて4倍すれば良い。第一象限の$x, y$はともに正であり、$t$は$0 \le t \le \pi/2$の範囲で変化する。

面積$S$は、パラメータ表示された曲線に対する積分の公式を用いて計算できます。

$S = \int y dx$

ここで、$x = a \cos^3 t$より、$dx = -3a\cos^2 t \sin t dt$

したがって、面積は以下のように計算できます。

$S = 4\int_{a}^{0} y dx = 4\int_{0}^{\pi/2} a\sin^3 t \cdot (-3a\cos^2 t \sin t) dt = -12a^2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 t \cos^2 t dt$

$S = -12a^2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 t \cos^2 t dt = -12a^2 \int_{0}^{\pi/2} (\sin^2 t)^2 \cos^2 t dt = -12a^2 \int_{0}^{\pi/2} (\frac{1 - \cos 2t}{2})^2 (\frac{1 + \cos 2t}{2}) dt$

$S = -\frac{12a^2}{8}\int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos 2t)^2(1 + \cos 2t) dt = -\frac{3a^2}{2}\int_{0}^{\pi/2} (1 - 2\cos 2t + \cos^2 2t)(1 + \cos 2t) dt$

$S = -\frac{3a^2}{2}\int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos 2t - \cos^2 2t + \cos^3 2t) dt$

ここで、$I_1 = \int_0^{\pi/2} \cos^2 2t dt = \int_0^{\pi/2} \frac{1 + \cos 4t}{2} dt = \frac{1}{2}[t + \frac{\sin 4t}{4}]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}$

$I_2 = \int_0^{\pi/2} \cos^3 2t dt = \int_0^{\pi/2} \cos 2t(1 - \sin^2 2t) dt = [\frac{\sin 2t}{2} - \frac{\sin^3 2t}{6}]_0^{\pi/2} = 0$

したがって、

$S = -\frac{3a^2}{2} \int_0^{\pi/2} (1 - \cos 2t - \cos^2 2t + \cos^3 2t) dt = -\frac{3a^2}{2}[t - \frac{\sin 2t}{2} - \frac{t}{2} - \frac{\sin 4t}{8} + \frac{\sin 2t}{2} - \frac{\sin^3 2t}{6}]_0^{\pi/2}$

$S = -\frac{3a^2}{2}[\frac{\pi}{2} - 0 - \frac{\pi}{4} - 0 + 0 - 0] = -\frac{3a^2}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi a^2}{8}$

絶対値を取るので、 $S = \frac{3\pi a^2}{8}$

別解:

$\int_{0}^{\pi/2} \sin^m t \cos^n t dt = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2\Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$

$\int_{0}^{\pi/2} \sin^4 t \cos^2 t dt = \frac{\Gamma(\frac{5}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{2\Gamma(4)} = \frac{(\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2} \Gamma(\frac{1}{2}))(\frac{1}{2} \Gamma(\frac{1}{2}))}{2\cdot 3!} = \frac{\frac{3}{4} \pi^{1/2} \cdot \frac{1}{2} \pi^{1/2}}{12} = \frac{\frac{3}{8}\pi}{12} = \frac{3\pi}{96} = \frac{\pi}{32}$

$S = 12 a^2 \int_0^{\pi/2} \sin^4 t \cos^2 t dt = 12a^2 \frac{\pi}{32} = \frac{3\pi}{8}a^2$

3. 最終的な答え

$\frac{3\pi a^2}{8}$