$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2 + ax} - bx) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

解析学極限無理式の有理化数列の極限
2025/7/9

1. 問題の内容

limx(x2+axbx)=3\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2 + ax} - bx) = 3 が成り立つように、a,ba, b の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、x2+ax\sqrt{x^2+ax}の部分を有理化します。つまり、x2+ax+bx\sqrt{x^2 + ax} + bxを分母分子に掛けます。
limx(x2+axbx)(x2+ax+bx)x2+ax+bx=3\lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + ax} - bx)(\sqrt{x^2 + ax} + bx)}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = 3
limxx2+axb2x2x2+ax+bx=3\lim_{x\to\infty} \frac{x^2 + ax - b^2x^2}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = 3
limx(1b2)x2+axx2+ax+bx=3\lim_{x\to\infty} \frac{(1-b^2)x^2 + ax}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = 3
ここで、1b2=01-b^2 = 0 でなければ、極限は\inftyまたは-\inftyとなってしまうため、1b2=01-b^2 = 0 である必要があります。従って、b=±1b = \pm 1です。
b=1b = -1とすると、limxaxx2+axx=3\lim_{x\to\infty} \frac{ax}{\sqrt{x^2 + ax} - x} = 3 となります。
limxaxx1+axx=limxaxx(1+ax1)\lim_{x\to\infty} \frac{ax}{x\sqrt{1 + \frac{a}{x}} - x} = \lim_{x\to\infty} \frac{ax}{x(\sqrt{1 + \frac{a}{x}} - 1)}
limxa1+ax1\lim_{x\to\infty} \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} - 1} は発散してしまうため、b=1b=-1は不適です。
b=1b=1のとき、limxaxx2+ax+x=3\lim_{x\to\infty} \frac{ax}{\sqrt{x^2 + ax} + x} = 3となります。
x>0x>0を仮定してxxで割ります。
limxa1+ax+1=3\lim_{x\to\infty} \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + 1} = 3
limxa1+ax+1=a1+0+1=a2=3\lim_{x\to\infty} \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + 1} = \frac{a}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{a}{2} = 3
従って、a=6a = 6となります。

3. 最終的な答え

a=6a = 6, b=1b = 1

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