$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2 + ax} - bx) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。解析学極限無理式の有理化数列の極限2025/7/91. 問題の内容limx→∞(x2+ax−bx)=3\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2 + ax} - bx) = 3limx→∞(x2+ax−bx)=3 が成り立つように、a,ba, ba,b の値を定める問題です。2. 解き方の手順まず、x2+ax\sqrt{x^2+ax}x2+axの部分を有理化します。つまり、x2+ax+bx\sqrt{x^2 + ax} + bxx2+ax+bxを分母分子に掛けます。limx→∞(x2+ax−bx)(x2+ax+bx)x2+ax+bx=3\lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + ax} - bx)(\sqrt{x^2 + ax} + bx)}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = 3limx→∞x2+ax+bx(x2+ax−bx)(x2+ax+bx)=3limx→∞x2+ax−b2x2x2+ax+bx=3\lim_{x\to\infty} \frac{x^2 + ax - b^2x^2}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = 3limx→∞x2+ax+bxx2+ax−b2x2=3limx→∞(1−b2)x2+axx2+ax+bx=3\lim_{x\to\infty} \frac{(1-b^2)x^2 + ax}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = 3limx→∞x2+ax+bx(1−b2)x2+ax=3ここで、1−b2=01-b^2 = 01−b2=0 でなければ、極限は∞\infty∞または−∞-\infty−∞となってしまうため、1−b2=01-b^2 = 01−b2=0 である必要があります。従って、b=±1b = \pm 1b=±1です。b=−1b = -1b=−1とすると、limx→∞axx2+ax−x=3\lim_{x\to\infty} \frac{ax}{\sqrt{x^2 + ax} - x} = 3limx→∞x2+ax−xax=3 となります。limx→∞axx1+ax−x=limx→∞axx(1+ax−1)\lim_{x\to\infty} \frac{ax}{x\sqrt{1 + \frac{a}{x}} - x} = \lim_{x\to\infty} \frac{ax}{x(\sqrt{1 + \frac{a}{x}} - 1)}limx→∞x1+xa−xax=limx→∞x(1+xa−1)axlimx→∞a1+ax−1\lim_{x\to\infty} \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} - 1}limx→∞1+xa−1a は発散してしまうため、b=−1b=-1b=−1は不適です。b=1b=1b=1のとき、limx→∞axx2+ax+x=3\lim_{x\to\infty} \frac{ax}{\sqrt{x^2 + ax} + x} = 3limx→∞x2+ax+xax=3となります。x>0x>0x>0を仮定してxxxで割ります。limx→∞a1+ax+1=3\lim_{x\to\infty} \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + 1} = 3limx→∞1+xa+1a=3limx→∞a1+ax+1=a1+0+1=a2=3\lim_{x\to\infty} \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + 1} = \frac{a}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{a}{2} = 3limx→∞1+xa+1a=1+0+1a=2a=3従って、a=6a = 6a=6となります。3. 最終的な答えa=6a = 6a=6, b=1b = 1b=1