$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2 + ax} - bx) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2 + ax} - bx) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2+ax}$の部分を有理化します。つまり、$\sqrt{x^2 + ax} + bx$を分母分子に掛けます。

$\lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + ax} - bx)(\sqrt{x^2 + ax} + bx)}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = 3$

$\lim_{x\to\infty} \frac{x^2 + ax - b^2x^2}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = 3$

$\lim_{x\to\infty} \frac{(1-b^2)x^2 + ax}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = 3$

ここで、$1-b^2 = 0$ でなければ、極限は$\infty$または$-\infty$となってしまうため、$1-b^2 = 0$ である必要があります。従って、$b = \pm 1$です。

$b = -1$とすると、$\lim_{x\to\infty} \frac{ax}{\sqrt{x^2 + ax} - x} = 3$ となります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{ax}{x\sqrt{1 + \frac{a}{x}} - x} = \lim_{x\to\infty} \frac{ax}{x(\sqrt{1 + \frac{a}{x}} - 1)}$

$\lim_{x\to\infty} \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} - 1}$ は発散してしまうため、$b=-1$は不適です。

$b=1$のとき、$\lim_{x\to\infty} \frac{ax}{\sqrt{x^2 + ax} + x} = 3$となります。

$x>0$を仮定して$x$で割ります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + 1} = 3$

$\lim_{x\to\infty} \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + 1} = \frac{a}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{a}{2} = 3$

従って、$a = 6$となります。

3. 最終的な答え

$a = 6$, $b = 1$