$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2 + ax} - bx) = 3$ が成り立つように、$a, b$ の値を定める問題です。

解析学極限無理式の有理化数列の極限
2025/7/9

1. 問題の内容

limx(x2+axbx)=3\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2 + ax} - bx) = 3 が成り立つように、a,ba, b の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、x2+ax\sqrt{x^2+ax}の部分を有理化します。つまり、x2+ax+bx\sqrt{x^2 + ax} + bxを分母分子に掛けます。
limx(x2+axbx)(x2+ax+bx)x2+ax+bx=3\lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + ax} - bx)(\sqrt{x^2 + ax} + bx)}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = 3
limxx2+axb2x2x2+ax+bx=3\lim_{x\to\infty} \frac{x^2 + ax - b^2x^2}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = 3
limx(1b2)x2+axx2+ax+bx=3\lim_{x\to\infty} \frac{(1-b^2)x^2 + ax}{\sqrt{x^2 + ax} + bx} = 3
ここで、1b2=01-b^2 = 0 でなければ、極限は\inftyまたは-\inftyとなってしまうため、1b2=01-b^2 = 0 である必要があります。従って、b=±1b = \pm 1です。
b=1b = -1とすると、limxaxx2+axx=3\lim_{x\to\infty} \frac{ax}{\sqrt{x^2 + ax} - x} = 3 となります。
limxaxx1+axx=limxaxx(1+ax1)\lim_{x\to\infty} \frac{ax}{x\sqrt{1 + \frac{a}{x}} - x} = \lim_{x\to\infty} \frac{ax}{x(\sqrt{1 + \frac{a}{x}} - 1)}
limxa1+ax1\lim_{x\to\infty} \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} - 1} は発散してしまうため、b=1b=-1は不適です。
b=1b=1のとき、limxaxx2+ax+x=3\lim_{x\to\infty} \frac{ax}{\sqrt{x^2 + ax} + x} = 3となります。
x>0x>0を仮定してxxで割ります。
limxa1+ax+1=3\lim_{x\to\infty} \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + 1} = 3
limxa1+ax+1=a1+0+1=a2=3\lim_{x\to\infty} \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + 1} = \frac{a}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{a}{2} = 3
従って、a=6a = 6となります。

3. 最終的な答え

a=6a = 6, b=1b = 1

「解析学」の関連問題

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx$ の値を求めます。

定積分絶対値積分
2025/7/9

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)| dx$ を計算する問題です。

定積分絶対値積分計算
2025/7/9

関数 $y = x + \sin x$ の区間 $I = [0, 2\pi]$ における増減を調べる問題です。微分 $y'$ を求め、$y' = 0$ となる $x$ の値を求め、増減表を作成して関数...

微分関数の増減三角関数増減表単調増加
2025/7/9

媒介変数 $t$ を用いて、$x(t) = 3\cos t + 2\cos\frac{3}{2}t$、$y(t) = 3\sin t - 2\sin\frac{3}{2}t$ と表される曲線 $C$ ...

媒介変数微分接線三角関数
2025/7/9

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ ($-\pi \le x < \pi$) のフーリエ級数を求める問題です。

フーリエ級数三角関数積分
2025/7/9

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ ($-\pi \le x < \pi$), $f(x+2\pi) = f(x)$ のフーリエ級数を求める。

フーリエ級数三角関数積分偶関数積和の公式
2025/7/9

関数 $f(\theta) = 2\sqrt{3}\cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta$ が与えられています。 (1) 2倍角の公式を用いて $\sin \...

三角関数最大値最小値2倍角の公式
2025/7/9

与えられた三角関数の値をそれぞれ求める問題です。具体的には、 (ア) $\sin \frac{7}{4}\pi$ (イ) $\cos \frac{2}{3}\pi$ (ウ) $\tan \frac{7...

三角関数三角比sincostanラジアン
2025/7/9

アステロイド曲線 $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$, $a > 0$) で囲まれた図形の面積を求めます。

積分パラメータ表示面積アステロイド
2025/7/9

問題文は、2つの関数 $f(x) = x^3 + px^2 + qx + \frac{7}{2}$ と $g(x) = x^2 + 8x + r$ について、以下の問いに答えるものです。 (1) $f...

微分極値接線積分面積
2025/7/9