与えられた2つの積分を計算する問題です。 (1) $\int e^x \sin x \, dx$ (2) $\int \frac{x^3}{x^2 - 3x + 2} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの積分を計算する問題です。

(1) $\int e^x \sin x \, dx$

(2) $\int \frac{x^3}{x^2 - 3x + 2} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int e^x \sin x \, dx$ を計算します。

部分積分を2回用います。

$I = \int e^x \sin x \, dx$ とおきます。

$u = \sin x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = \cos x \, dx$, $v = e^x$ となります。

$I = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx$

次に、$\int e^x \cos x \, dx$ を計算します。

$u = \cos x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = -\sin x \, dx$, $v = e^x$ となります。

$\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx = e^x \cos x + I$

したがって、$I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I)$

$2I = e^x \sin x - e^x \cos x$

$I = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$

(2) $\int \frac{x^3}{x^2 - 3x + 2} \, dx$ を計算します。

まず、$\frac{x^3}{x^2 - 3x + 2}$ を多項式と真分数式の和に分解します。

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ です。

$x^3 = (x^2 - 3x + 2)(x+3) + 7x - 6$ より、

$\frac{x^3}{x^2 - 3x + 2} = x+3 + \frac{7x - 6}{x^2 - 3x + 2}$

次に、$\frac{7x - 6}{x^2 - 3x + 2} = \frac{7x - 6}{(x-1)(x-2)}$ を部分分数に分解します。

$\frac{7x - 6}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$

$7x - 6 = A(x-2) + B(x-1)$

$x = 1$ のとき、 $7(1) - 6 = A(1-2) + B(1-1)$ より、 $1 = -A$, $A = -1$

$x = 2$ のとき、 $7(2) - 6 = A(2-2) + B(2-1)$ より、 $8 = B$

$\frac{7x - 6}{x^2 - 3x + 2} = \frac{-1}{x-1} + \frac{8}{x-2}$

したがって、

$\int \frac{x^3}{x^2 - 3x + 2} \, dx = \int \left( x+3 - \frac{1}{x-1} + \frac{8}{x-2} \right) \, dx$

$= \frac{1}{2}x^2 + 3x - \ln|x-1| + 8\ln|x-2| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$

(2) $\int \frac{x^3}{x^2 - 3x + 2} \, dx = \frac{1}{2}x^2 + 3x - \ln|x-1| + 8\ln|x-2| + C$