与えられた2つの積分を計算する問題です。 (1) $\int e^x \sin x \, dx$ (2) $\int \frac{x^3}{x^2 - 3x + 2} \, dx$

解析学積分部分積分部分分数分解
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた2つの積分を計算する問題です。
(1) exsinxdx\int e^x \sin x \, dx
(2) x3x23x+2dx\int \frac{x^3}{x^2 - 3x + 2} \, dx

2. 解き方の手順

(1) exsinxdx\int e^x \sin x \, dx を計算します。
部分積分を2回用います。
I=exsinxdxI = \int e^x \sin x \, dx とおきます。
u=sinxu = \sin x, dv=exdxdv = e^x dx とすると、du=cosxdxdu = \cos x \, dx, v=exv = e^x となります。
I=exsinxexcosxdxI = e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx
次に、excosxdx\int e^x \cos x \, dx を計算します。
u=cosxu = \cos x, dv=exdxdv = e^x dx とすると、du=sinxdxdu = -\sin x \, dx, v=exv = e^x となります。
excosxdx=excosxex(sinx)dx=excosx+exsinxdx=excosx+I\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) \, dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x \, dx = e^x \cos x + I
したがって、I=exsinx(excosx+I)I = e^x \sin x - (e^x \cos x + I)
2I=exsinxexcosx2I = e^x \sin x - e^x \cos x
I=12ex(sinxcosx)+CI = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C
(2) x3x23x+2dx\int \frac{x^3}{x^2 - 3x + 2} \, dx を計算します。
まず、x3x23x+2\frac{x^3}{x^2 - 3x + 2} を多項式と真分数式の和に分解します。
x23x+2=(x1)(x2)x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) です。
x3=(x23x+2)(x+3)+7x6x^3 = (x^2 - 3x + 2)(x+3) + 7x - 6 より、
x3x23x+2=x+3+7x6x23x+2\frac{x^3}{x^2 - 3x + 2} = x+3 + \frac{7x - 6}{x^2 - 3x + 2}
次に、7x6x23x+2=7x6(x1)(x2)\frac{7x - 6}{x^2 - 3x + 2} = \frac{7x - 6}{(x-1)(x-2)} を部分分数に分解します。
7x6(x1)(x2)=Ax1+Bx2\frac{7x - 6}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}
7x6=A(x2)+B(x1)7x - 6 = A(x-2) + B(x-1)
x=1x = 1 のとき、 7(1)6=A(12)+B(11)7(1) - 6 = A(1-2) + B(1-1) より、 1=A1 = -A, A=1A = -1
x=2x = 2 のとき、 7(2)6=A(22)+B(21)7(2) - 6 = A(2-2) + B(2-1) より、 8=B8 = B
7x6x23x+2=1x1+8x2\frac{7x - 6}{x^2 - 3x + 2} = \frac{-1}{x-1} + \frac{8}{x-2}
したがって、
x3x23x+2dx=(x+31x1+8x2)dx\int \frac{x^3}{x^2 - 3x + 2} \, dx = \int \left( x+3 - \frac{1}{x-1} + \frac{8}{x-2} \right) \, dx
=12x2+3xlnx1+8lnx2+C= \frac{1}{2}x^2 + 3x - \ln|x-1| + 8\ln|x-2| + C

3. 最終的な答え

(1) exsinxdx=12ex(sinxcosx)+C\int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C
(2) x3x23x+2dx=12x2+3xlnx1+8lnx2+C\int \frac{x^3}{x^2 - 3x + 2} \, dx = \frac{1}{2}x^2 + 3x - \ln|x-1| + 8\ln|x-2| + C

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