与えられた2つの二変数関数の、原点(0,0)における極限が存在するかを調べ、存在する場合は極限値を求める。 (1) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4}$ (2) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x(e^y-1)}{(\log(1+x))^2+y^2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの二変数関数の、原点(0,0)における極限が存在するかを調べ、存在する場合は極限値を求める。

(1) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4}$

(2) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x(e^y-1)}{(\log(1+x))^2+y^2}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = mx$ とおいて原点に近づく経路を考える。

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2(mx)^3}{x^4+(mx)^4} = \lim_{x\to 0} \frac{m^3x^5}{x^4(1+m^4)} = \lim_{x\to 0} \frac{m^3x}{1+m^4} = 0$

この方法では、極限は0になりそうだが、存在しない可能性もある。

次に、$x^2 = y$という経路で近づいてみる。

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{y\to 0} \frac{y y^3}{y^2+y^4} = \lim_{y\to 0} \frac{y^4}{y^2(1+y^2)} = \lim_{y\to 0} \frac{y^2}{1+y^2} = 0$

次に、$y=x^2$という経路で近づいてみる。

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2(x^2)^3}{x^4+(x^2)^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^8}{x^4+x^8} = \lim_{x\to 0} \frac{x^4}{1+x^4} = 0$

別の経路で近づいてみる。$x=0$に沿って近づくと、$\lim_{y\to 0} \frac{0}{y^4} = 0$である。

$y=0$に沿って近づくと、$\lim_{x\to 0} \frac{0}{x^4} = 0$である。

しかし、$x^4 = y^4$、つまり$x=y$または$x=-y$という経路で考えると、

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2x^3}{x^4+x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^5}{2x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{2} = 0$ (for $x=y$)

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2(-x)^3}{x^4+(-x)^4} = \lim_{x\to 0} \frac{-x^5}{2x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{-x}{2} = 0$ (for $x=-y$)

$x^2 = y^2$という経路で近づく。

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2(x^2)^{3/2}}{x^4+(x^2)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^5}{2x^4} = 0$

ただし、 $x=y^{2/3}$ とおくと

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{y\to 0} \frac{y^{4/3}y^3}{y^{8/3}+y^4} = \lim_{y\to 0} \frac{y^{13/3}}{y^{8/3}+y^{12/3}} = \lim_{y\to 0} \frac{y^{5/3}}{1+y^{4/3}} = \frac{0}{1+0} = 0$

$y=x$なら

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^5}{2x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{2} = 0$

$y=x^{1/2}$なら

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2x^{3/2}}{x^4+x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{7/2}}{x^4+x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{3/2}}{x^2+1} = 0$

色々な経路で0になるため、極限は0と推測される。

極座標変換を試みる。$x = r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$とすると

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{r\to 0} \frac{r^5\cos^2\theta \sin^3\theta}{r^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta)} = \lim_{r\to 0} \frac{r\cos^2\theta \sin^3\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta}$

ここで、$f(\theta) = \frac{\cos^2\theta \sin^3\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta}$は、$\cos^4\theta+\sin^4\theta = 0$となる$\theta$を持たないため、有界である。

したがって、$\lim_{r\to 0} r f(\theta) = 0$

(2)

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x(e^y-1)}{(\log(1+x))^2+y^2}$

ヒントの$\lim_{y\to 0} \frac{e^y-1}{y} = 1$を用いると、 $e^y-1 \approx y$ ($y \approx 0$)

$\log(1+x) \approx x$ ($x \approx 0$)であるため、

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x(e^y-1)}{(\log(1+x))^2+y^2} \approx \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}$

$y=mx$とすると、$\lim_{x\to 0} \frac{x(mx)}{x^2+(mx)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{mx^2}{x^2(1+m^2)} = \frac{m}{1+m^2}$

これは$m$に依存する値なので、極限は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 極限は存在する。極限値は0。

(2) 極限は存在しない。