与えられた2つの二変数関数の、原点(0,0)における極限が存在するかを調べ、存在する場合は極限値を求める。 (1) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4}$ (2) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x(e^y-1)}{(\log(1+x))^2+y^2}$
2025/7/9
1. 問題の内容
与えられた2つの二変数関数の、原点(0,0)における極限が存在するかを調べ、存在する場合は極限値を求める。
(1)
(2)
2. 解き方の手順
(1)
まず、 とおいて原点に近づく経路を考える。
この方法では、極限は0になりそうだが、存在しない可能性もある。
次に、という経路で近づいてみる。
次に、という経路で近づいてみる。
別の経路で近づいてみる。に沿って近づくと、である。
に沿って近づくと、である。
しかし、、つまりまたはという経路で考えると、
(for )
(for )
という経路で近づく。
ただし、 とおくと
なら
なら
色々な経路で0になるため、極限は0と推測される。
極座標変換を試みる。, とすると
ここで、は、となるを持たないため、有界である。
したがって、
(2)
ヒントのを用いると、 ()
()であるため、
とすると、
これはに依存する値なので、極限は存在しない。
3. 最終的な答え
(1) 極限は存在する。極限値は0。
(2) 極限は存在しない。