与えられた2つの二変数関数の、原点(0,0)における極限が存在するかを調べ、存在する場合は極限値を求める。 (1) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4}$ (2) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x(e^y-1)}{(\log(1+x))^2+y^2}$

解析学多変数関数極限極座標変換
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた2つの二変数関数の、原点(0,0)における極限が存在するかを調べ、存在する場合は極限値を求める。
(1) lim(x,y)(0,0)x2y3x4+y4\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4}
(2) lim(x,y)(0,0)x(ey1)(log(1+x))2+y2\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x(e^y-1)}{(\log(1+x))^2+y^2}

2. 解き方の手順

(1)
まず、y=mxy = mx とおいて原点に近づく経路を考える。
lim(x,y)(0,0)x2y3x4+y4=limx0x2(mx)3x4+(mx)4=limx0m3x5x4(1+m4)=limx0m3x1+m4=0\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2(mx)^3}{x^4+(mx)^4} = \lim_{x\to 0} \frac{m^3x^5}{x^4(1+m^4)} = \lim_{x\to 0} \frac{m^3x}{1+m^4} = 0
この方法では、極限は0になりそうだが、存在しない可能性もある。
次に、x2=yx^2 = yという経路で近づいてみる。
lim(x,y)(0,0)x2y3x4+y4=limy0yy3y2+y4=limy0y4y2(1+y2)=limy0y21+y2=0\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{y\to 0} \frac{y y^3}{y^2+y^4} = \lim_{y\to 0} \frac{y^4}{y^2(1+y^2)} = \lim_{y\to 0} \frac{y^2}{1+y^2} = 0
次に、y=x2y=x^2という経路で近づいてみる。
lim(x,y)(0,0)x2y3x4+y4=limx0x2(x2)3x4+(x2)4=limx0x8x4+x8=limx0x41+x4=0\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2(x^2)^3}{x^4+(x^2)^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^8}{x^4+x^8} = \lim_{x\to 0} \frac{x^4}{1+x^4} = 0
別の経路で近づいてみる。x=0x=0に沿って近づくと、limy00y4=0\lim_{y\to 0} \frac{0}{y^4} = 0である。
y=0y=0に沿って近づくと、limx00x4=0\lim_{x\to 0} \frac{0}{x^4} = 0である。
しかし、x4=y4x^4 = y^4、つまりx=yx=yまたはx=yx=-yという経路で考えると、
lim(x,y)(0,0)x2y3x4+y4=limx0x2x3x4+x4=limx0x52x4=limx0x2=0\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2x^3}{x^4+x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^5}{2x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{2} = 0 (for x=yx=y)
lim(x,y)(0,0)x2y3x4+y4=limx0x2(x)3x4+(x)4=limx0x52x4=limx0x2=0\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2(-x)^3}{x^4+(-x)^4} = \lim_{x\to 0} \frac{-x^5}{2x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{-x}{2} = 0 (for x=yx=-y)
x2=y2x^2 = y^2という経路で近づく。
lim(x,y)(0,0)x2y3x4+y4=limx0x2(x2)3/2x4+(x2)2=limx0x52x4=0\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2(x^2)^{3/2}}{x^4+(x^2)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^5}{2x^4} = 0
ただし、 x=y2/3x=y^{2/3} とおくと
lim(x,y)(0,0)x2y3x4+y4=limy0y4/3y3y8/3+y4=limy0y13/3y8/3+y12/3=limy0y5/31+y4/3=01+0=0\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{y\to 0} \frac{y^{4/3}y^3}{y^{8/3}+y^4} = \lim_{y\to 0} \frac{y^{13/3}}{y^{8/3}+y^{12/3}} = \lim_{y\to 0} \frac{y^{5/3}}{1+y^{4/3}} = \frac{0}{1+0} = 0
y=xy=xなら
lim(x,y)(0,0)x2y3x4+y4=limx0x52x4=limx0x2=0\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^5}{2x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{2} = 0
y=x1/2y=x^{1/2}なら
lim(x,y)(0,0)x2y3x4+y4=limx0x2x3/2x4+x2=limx0x7/2x4+x2=limx0x3/2x2+1=0\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2x^{3/2}}{x^4+x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{7/2}}{x^4+x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^{3/2}}{x^2+1} = 0
色々な経路で0になるため、極限は0と推測される。
極座標変換を試みる。x=rcosθx = r\cos\theta, y=rsinθy=r\sin\thetaとすると
lim(x,y)(0,0)x2y3x4+y4=limr0r5cos2θsin3θr4(cos4θ+sin4θ)=limr0rcos2θsin3θcos4θ+sin4θ\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^3}{x^4+y^4} = \lim_{r\to 0} \frac{r^5\cos^2\theta \sin^3\theta}{r^4(\cos^4\theta+\sin^4\theta)} = \lim_{r\to 0} \frac{r\cos^2\theta \sin^3\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta}
ここで、f(θ)=cos2θsin3θcos4θ+sin4θf(\theta) = \frac{\cos^2\theta \sin^3\theta}{\cos^4\theta+\sin^4\theta}は、cos4θ+sin4θ=0\cos^4\theta+\sin^4\theta = 0となるθ\thetaを持たないため、有界である。
したがって、limr0rf(θ)=0\lim_{r\to 0} r f(\theta) = 0
(2)
lim(x,y)(0,0)x(ey1)(log(1+x))2+y2\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x(e^y-1)}{(\log(1+x))^2+y^2}
ヒントのlimy0ey1y=1\lim_{y\to 0} \frac{e^y-1}{y} = 1を用いると、 ey1ye^y-1 \approx y (y0y \approx 0)
log(1+x)x\log(1+x) \approx x (x0x \approx 0)であるため、
lim(x,y)(0,0)x(ey1)(log(1+x))2+y2lim(x,y)(0,0)xyx2+y2\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x(e^y-1)}{(\log(1+x))^2+y^2} \approx \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y^2}
y=mxy=mxとすると、limx0x(mx)x2+(mx)2=limx0mx2x2(1+m2)=m1+m2\lim_{x\to 0} \frac{x(mx)}{x^2+(mx)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{mx^2}{x^2(1+m^2)} = \frac{m}{1+m^2}
これはmmに依存する値なので、極限は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 極限は存在する。極限値は0。
(2) 極限は存在しない。

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