与えられた問題は以下の4つの部分から構成されています。 (1) 逆三角関数の値を求める問題 (2) 極限を計算する問題 (3) 関数の導関数を求める問題 (4) 関数 $f(x) = x^3e^{-x}$ に関する問題(接線、極値、最大値・最小値)

解析学逆三角関数関数の値三角関数
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の4つの部分から構成されています。
(1) 逆三角関数の値を求める問題
(2) 極限を計算する問題
(3) 関数の導関数を求める問題
(4) 関数 f(x)=x3exf(x) = x^3e^{-x} に関する問題(接線、極値、最大値・最小値)

2. 解き方の手順

ここでは、1番の問題を解きます。
(1) sin1(12)\sin^{-1}(-\frac{1}{2})
sinθ=12\sin \theta = -\frac{1}{2} となる θ\theta を求めます。主値の範囲は π2θπ2-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} です。
θ=π6\theta = -\frac{\pi}{6} が条件を満たします。
(2) cos1(12)\cos^{-1}(-\frac{1}{2})
cosθ=12\cos \theta = -\frac{1}{2} となる θ\theta を求めます。主値の範囲は 0θπ0 \leq \theta \leq \pi です。
θ=2π3\theta = \frac{2\pi}{3} が条件を満たします。
(3) tan1(3)\tan^{-1}(-\sqrt{3})
tanθ=3\tan \theta = -\sqrt{3} となる θ\theta を求めます。主値の範囲は π2<θ<π2-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} です。
θ=π3\theta = -\frac{\pi}{3} が条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) sin1(12)=π6\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}
(2) cos1(12)=2π3\cos^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}
(3) tan1(3)=π3\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}

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## 1. 問題の内容

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