与えられた問題は以下の4つの部分から構成されています。 (1) 逆三角関数の値を求める問題 (2) 極限を計算する問題 (3) 関数の導関数を求める問題 (4) 関数 $f(x) = x^3e^{-x}$ に関する問題（接線、極値、最大値・最小値）

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の4つの部分から構成されています。

(1) 逆三角関数の値を求める問題

(2) 極限を計算する問題

(3) 関数の導関数を求める問題

(4) 関数 $f(x) = x^3e^{-x}$ に関する問題（接線、極値、最大値・最小値）

2. 解き方の手順

ここでは、1番の問題を解きます。

(1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{2})$

$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めます。主値の範囲は $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ です。

$\theta = -\frac{\pi}{6}$ が条件を満たします。

(2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{2})$

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めます。主値の範囲は $0 \leq \theta \leq \pi$ です。

$\theta = \frac{2\pi}{3}$ が条件を満たします。

(3) $\tan^{-1}(-\sqrt{3})$

$\tan \theta = -\sqrt{3}$ となる $\theta$ を求めます。主値の範囲は $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ です。

$\theta = -\frac{\pi}{3}$ が条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$

(2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$

(3) $\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$