次の不定積分を求めます。 (7) $\int \frac{2x}{x^2+4} dx$ (8) $\int \tan x dx$

はい、承知いたしました。画像にある練習問題3の(7)と(8)を解きます。

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

(7) $\int \frac{2x}{x^2+4} dx$

(8) $\int \tan x dx$

2. 解き方の手順

(7)

$u = x^2 + 4$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{2x}{x^2+4} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |x^2+4| + C$

$x^2+4$ は常に正なので、絶対値を外して $\ln (x^2+4) + C$ と書けます。

(8)

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ と書き換えます。

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$

ここで、$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \frac{-1}{u} du = -\ln |u| + C = -\ln |\cos x| + C$

これは $\ln |\sec x| + C$ とも書けます。

3. 最終的な答え

(7) $\ln(x^2+4) + C$

(8) $-\ln|\cos x| + C$

あるいは $\ln|\sec x| + C$