次の不定積分を求めよ。 (1) $\int x \sin x dx$ (2) $\int x \log x dx$ (3) $\int (x+1) e^x dx$ (4) $\int \log x dx$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

(1) $\int x \sin x dx$

(2) $\int x \log x dx$

(3) $\int (x+1) e^x dx$

(4) $\int \log x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x \sin x dx$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

$$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$$

(2) $\int x \log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{2} x^2$ となります。

$$\int x \log x dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \int \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{4} x^2 + C$$

(3) $\int (x+1) e^x dx$

部分積分を行います。$u = x+1$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$$\int (x+1) e^x dx = (x+1) e^x - \int e^x dx = (x+1) e^x - e^x + C = xe^x + e^x - e^x + C = xe^x + C$$

(4) $\int \log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x + C$

(2) $\int x \log x dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{4} x^2 + C$

(3) $\int (x+1) e^x dx = xe^x + C$

(4) $\int \log x dx = x \log x - x + C$