定積分 $\int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+2} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+2} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{2x}{x^2+2} dx$ を求める。

$u = x^2 + 2$ と置換すると、$du = 2x dx$ となる。

したがって、

$\int \frac{2x}{x^2+2} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|x^2+2| + C$

ここで、$x^2+2 > 0$ なので、$\ln|x^2+2| = \ln(x^2+2)$ となる。

次に、定積分を計算する。

$\int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+2} dx = \left[ \ln(x^2+2) \right]_{0}^{1} = \ln(1^2+2) - \ln(0^2+2) = \ln(3) - \ln(2) = \ln(\frac{3}{2})$

3. 最終的な答え

$\ln(\frac{3}{2})$