次の関数のグラフを描き、定義域、値域、漸近線を求めよ。 (1) $y = \frac{x+3}{x+1}$ (2) $y = \frac{2x-5}{x-2}$

1. 問題の内容

次の関数のグラフを描き、定義域、値域、漸近線を求めよ。

(1) $y = \frac{x+3}{x+1}$

(2) $y = \frac{2x-5}{x-2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x+3}{x+1}$ の場合：

まず、関数を変形します。

$y = \frac{x+1+2}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{2}{x+1} = 1 + \frac{2}{x+1}$

定義域：分母が0にならないように、$x+1 \neq 0$ よって、$x \neq -1$。したがって、定義域は $x \neq -1$。

漸近線：

$x \to \pm \infty$ のとき、$y \to 1$ なので、水平漸近線は $y=1$。

$x \to -1$ のとき、$y \to \pm \infty$ なので、垂直漸近線は $x=-1$。

値域：

$y = 1 + \frac{2}{x+1}$ を $x$ について解くと、

$y-1 = \frac{2}{x+1}$

$x+1 = \frac{2}{y-1}$

$x = \frac{2}{y-1} - 1$

分母が0にならないように、$y-1 \neq 0$ よって、$y \neq 1$。したがって、値域は $y \neq 1$。

(2) $y = \frac{2x-5}{x-2}$ の場合：

まず、関数を変形します。

$y = \frac{2(x-2)-1}{x-2} = \frac{2(x-2)}{x-2} - \frac{1}{x-2} = 2 - \frac{1}{x-2}$

定義域：分母が0にならないように、$x-2 \neq 0$ よって、$x \neq 2$。したがって、定義域は $x \neq 2$。

漸近線：

$x \to \pm \infty$ のとき、$y \to 2$ なので、水平漸近線は $y=2$。

$x \to 2$ のとき、$y \to \pm \infty$ なので、垂直漸近線は $x=2$。

値域：

$y = 2 - \frac{1}{x-2}$ を $x$ について解くと、

$y-2 = - \frac{1}{x-2}$

$x-2 = - \frac{1}{y-2}$

$x = 2 - \frac{1}{y-2}$

分母が0にならないように、$y-2 \neq 0$ よって、$y \neq 2$。したがって、値域は $y \neq 2$。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{x+3}{x+1}$

定義域：$x \neq -1$

値域：$y \neq 1$

漸近線：$x = -1$, $y = 1$

(2) $y = \frac{2x-5}{x-2}$

定義域：$x \neq 2$

値域：$y \neq 2$

漸近線：$x = 2$, $y = 2$