与えられた積分 $\int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を使って解くことができます。

まず、$u = e^x - e^{-x}$ と置きます。

次に、$u$ を $x$ で微分して、$du$ を計算します。

$\frac{du}{dx} = e^x - (-1)e^{-x} = e^x + e^{-x}$

したがって、$du = (e^x + e^{-x}) dx$ となります。

元の積分は $\int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} dx = \int \frac{1}{e^x - e^{-x}} (e^x + e^{-x}) dx$ と書けます。

置換した変数 $u$ と $du$ を用いると、積分は $\int \frac{1}{u} du$ となります。

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$ （ただし、$C$ は積分定数）。

$u = e^x - e^{-x}$ を代入して、

$\ln |e^x - e^{-x}| + C$ を得ます。

3. 最終的な答え

$\ln |e^x - e^{-x}| + C$