関数 $y = \log_{\frac{1}{2}}(x-2) + 2 \log_{\frac{1}{4}}(3-x)$ について、以下の問いに答えます。 (1) 定義域を求めます。 (2) $y$ が最大値または最小値をとる $x$ の値を求め、そのときの $y$ の値を求めます。また、最大値と最小値のどちらをとるか答えます。

1. 問題の内容

関数 $y = \log_{\frac{1}{2}}(x-2) + 2 \log_{\frac{1}{4}}(3-x)$ について、以下の問いに答えます。

(1) 定義域を求めます。

(2) $y$ が最大値または最小値をとる $x$ の値を求め、そのときの $y$ の値を求めます。また、最大値と最小値のどちらをとるか答えます。

2. 解き方の手順

(1) 定義域を求める。

対数関数が定義されるためには、真数が正である必要があります。したがって、

$x-2 > 0$

$3-x > 0$

これらを解くと、

$x > 2$

$x < 3$

したがって、定義域は $2 < x < 3$ となります。

(2) $y$ を整理し、最大値または最小値を求める。

$y = \log_{\frac{1}{2}}(x-2) + 2 \log_{\frac{1}{4}}(3-x)$

$y = \log_{\frac{1}{2}}(x-2) + 2 \frac{\log_{\frac{1}{2}}(3-x)}{\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4})}$

$\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4}) = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}^2) = 2$

したがって、

$y = \log_{\frac{1}{2}}(x-2) + \log_{\frac{1}{2}}(3-x)$

$y = \log_{\frac{1}{2}}((x-2)(3-x))$

$y = \log_{\frac{1}{2}}(-x^2+5x-6)$

$t = -x^2+5x-6$ とおくと、$y = \log_{\frac{1}{2}}(t)$ となります。

$2 < x < 3$ において、$t = -x^2+5x-6$ の最大値を求めます。

$t = -(x^2-5x)-6 = -(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - 6 = -(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{1}{4}$

$x = \frac{5}{2}$ のとき、$t$ は最大値 $\frac{1}{4}$ をとります。

$x=\frac{5}{2}$ は $2 < x < 3$ を満たすので、この範囲で $t$ は最大値 $\frac{1}{4}$ をとります。

$y = \log_{\frac{1}{2}}(t)$ において、底が $\frac{1}{2}$ であり、0 < $\frac{1}{2}$ < 1 であるから、$y$ は $t$ が最大値をとるときに最小値をとります。

したがって、$x = \frac{5}{2}$ のとき、$y$ は最小値をとり、その値は

$y = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{4}) = 2$

3. 最終的な答え

(1) 定義域は、$2 < x < 3$ です。

(2) $x = \frac{5}{2}$ のとき、最小値をとり、その値は $2$ です。