与えられた積分 $\int \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\cos x = t$ と置換します。すると、$\frac{dt}{dx} = -\sin x$ となり、$dx = -\frac{dt}{\sin x}$ となります。

積分は次のようになります。

$\int \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{\sin x t^2}{1 + t} \left( -\frac{dt}{\sin x} \right) = - \int \frac{t^2}{1 + t} dt$

被積分関数 $\frac{t^2}{1 + t}$ を部分分数分解します。

$t^2 = (t + 1)(t - 1) + 1$ であるから、

$\frac{t^2}{1 + t} = \frac{(t + 1)(t - 1) + 1}{1 + t} = t - 1 + \frac{1}{1 + t}$

したがって、

$- \int \frac{t^2}{1 + t} dt = - \int \left( t - 1 + \frac{1}{1 + t} \right) dt = - \left( \frac{t^2}{2} - t + \ln |1 + t| \right) + C$

$= - \frac{t^2}{2} + t - \ln |1 + t| + C$

ここで、$t = \cos x$ を代入すると、

$= - \frac{\cos^2 x}{2} + \cos x - \ln |1 + \cos x| + C$

3. 最終的な答え

$- \frac{\cos^2 x}{2} + \cos x - \ln |1 + \cos x| + C$