(1) 関数 $y = \log_6(x+3) + \log_6(9-x)$ の最大値を求める。 (2) $x>0$, $y>0$, $2x+y=8$ のとき、$\log_2 x + \log_2 y$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \log_6(x+3) + \log_6(9-x)$ の最大値を求める。

(2) $x>0$, $y>0$, $2x+y=8$ のとき、$\log_2 x + \log_2 y$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、定義域を考える。

$x+3 > 0$ より $x>-3$

$9-x > 0$ より $x<9$

よって、$-3 < x < 9$ である。

$y = \log_6(x+3) + \log_6(9-x) = \log_6((x+3)(9-x))$

$f(x) = (x+3)(9-x) = -x^2 + 6x + 27 = -(x^2 - 6x) + 27 = -(x^2 - 6x + 9) + 9 + 27 = -(x-3)^2 + 36$

$f(x)$ は $x=3$ で最大値 $36$ をとる。

$x=3$ は $-3 < x < 9$ を満たす。

よって、$y$ の最大値は $\log_6 36 = \log_6 6^2 = 2$

(2)

$2x+y=8$ より $y=8-2x$

$x>0$, $y>0$ なので $8-2x>0$ よって、$x<4$

$0 < x < 4$ である。

$\log_2 x + \log_2 y = \log_2 x + \log_2 (8-2x) = \log_2 (x(8-2x)) = \log_2 (-2x^2 + 8x) = \log_2 (-2(x^2 - 4x)) = \log_2 (-2(x^2 - 4x + 4) + 8) = \log_2 (-2(x-2)^2 + 8)$

$g(x) = -2(x-2)^2 + 8$ は $x=2$ で最大値 $8$ をとる。

$x=2$ は $0 < x < 4$ を満たす。

よって、$\log_2 x + \log_2 y$ の最大値は $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 2

(2) 最大値: 3