与えられた曲線上の、指定された $x$ 座標に対応する点における法線の方程式を求める問題です。 (1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ の $x=3$ における法線の方程式 (2) $y = \tan x$ の $x = \frac{\pi}{4}$ における法線の方程式

1. 問題の内容

与えられた曲線上の、指定された $x$ 座標に対応する点における法線の方程式を求める問題です。

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ の $x=3$ における法線の方程式

(2) $y = \tan x$ の $x = \frac{\pi}{4}$ における法線の方程式

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3 - 3x^2 - 1$ の $x=3$ における法線の方程式

* $x=3$ のときの $y$ 座標を求めます。

$y = 3^3 - 3(3^2) - 1 = 27 - 27 - 1 = -1$

よって、点 $(3, -1)$ における法線を求めます。

* $y$ を $x$ で微分して、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x$

* $x=3$ における接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx}|_{x=3} = 3(3^2) - 6(3) = 27 - 18 = 9$

* 法線の傾きは、接線の傾きの逆数の符号を反転させたものです。

法線の傾き $m = -\frac{1}{9}$

* 点 $(3, -1)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{9}$ の直線の方程式を求めます。

$y - (-1) = -\frac{1}{9}(x - 3)$

$y + 1 = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3}$

$y = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3} - 1$

$y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$

(2) $y = \tan x$ の $x = \frac{\pi}{4}$ における法線の方程式

* $x=\frac{\pi}{4}$ のときの $y$ 座標を求めます。

$y = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

よって、点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ における法線を求めます。

* $y$ を $x$ で微分して、導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

* $x=\frac{\pi}{4}$ における接線の傾きを求めます。

$\frac{dy}{dx}|_{x=\frac{\pi}{4}} = \sec^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\cos^2 \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

* 法線の傾きは、接線の傾きの逆数の符号を反転させたものです。

法線の傾き $m = -\frac{1}{2}$

* 点 $(\frac{\pi}{4}, 1)$ を通り、傾きが $-\frac{1}{2}$ の直線の方程式を求めます。

$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4})$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{9}x - \frac{2}{3}$

(2) $y = -\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{8} + 1$