以下の6つの定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{2} e^{4x} dx$ (2) $\int_{0}^{2} (2-3x)^2 dx$ (3) $\int_{1}^{2} \frac{2x^2 + x - 1}{x} dx$ (4) $\int_{0}^{1} 2^{-x+1} dx$ (5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 3x dx$ (6) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$

はい、承知いたしました。画像に写っている6つの積分問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の6つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{2} e^{4x} dx$

(2) $\int_{0}^{2} (2-3x)^2 dx$

(3) $\int_{1}^{2} \frac{2x^2 + x - 1}{x} dx$

(4) $\int_{0}^{1} 2^{-x+1} dx$

(5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 3x dx$

(6) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{2} e^{4x} dx$

$e^{4x}$ の原始関数は $\frac{1}{4} e^{4x}$ なので、

$\int_{0}^{2} e^{4x} dx = \left[ \frac{1}{4} e^{4x} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{4} e^{8} - \frac{1}{4} e^{0} = \frac{e^{8} - 1}{4}$

(2) $\int_{0}^{2} (2-3x)^2 dx$

$(2-3x)^2 = 4 - 12x + 9x^2$ なので、

$\int_{0}^{2} (2-3x)^2 dx = \int_{0}^{2} (9x^2 - 12x + 4) dx = \left[ 3x^3 - 6x^2 + 4x \right]_{0}^{2} = 3(2^3) - 6(2^2) + 4(2) - 0 = 24 - 24 + 8 = 8$

(3) $\int_{1}^{2} \frac{2x^2 + x - 1}{x} dx$

$\frac{2x^2 + x - 1}{x} = 2x + 1 - \frac{1}{x}$ なので、

$\int_{1}^{2} \frac{2x^2 + x - 1}{x} dx = \int_{1}^{2} (2x + 1 - \frac{1}{x}) dx = \left[ x^2 + x - \ln |x| \right]_{1}^{2} = (2^2 + 2 - \ln 2) - (1^2 + 1 - \ln 1) = 4 + 2 - \ln 2 - 1 - 1 + 0 = 4 - \ln 2$

(4) $\int_{0}^{1} 2^{-x+1} dx$

$2^{-x+1} = 2 \cdot 2^{-x} = 2 \cdot e^{-x \ln 2}$ なので、

$\int_{0}^{1} 2^{-x+1} dx = \int_{0}^{1} 2 \cdot e^{-x \ln 2} dx = 2 \left[ \frac{e^{-x \ln 2}}{-\ln 2} \right]_{0}^{1} = \frac{-2}{\ln 2} \left[ e^{-\ln 2} - e^{0} \right] = \frac{-2}{\ln 2} \left[ \frac{1}{2} - 1 \right] = \frac{-2}{\ln 2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{\ln 2}$

(5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 3x dx$

$\sin 3x$ の原始関数は $-\frac{1}{3} \cos 3x$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 3x dx = \left[ -\frac{1}{3} \cos 3x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{3} \cos \frac{3\pi}{2} - \left( -\frac{1}{3} \cos 0 \right) = -\frac{1}{3} (0) + \frac{1}{3} (1) = \frac{1}{3}$

(6) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$

$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ であり、$\sec^2 x$ の原始関数は $\tan x$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec^2 x dx = \left[ \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{e^8 - 1}{4}$

(2) $8$

(3) $4 - \ln 2$

(4) $\frac{1}{\ln 2}$

(5) $\frac{1}{3}$

(6) $1$