関数 $\sin(4x)\sin(x)$ をマクローリン展開せよ。

1. 問題の内容

関数 $\sin(4x)\sin(x)$ をマクローリン展開せよ。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数を原点（$x=0$）の周りでべき級数として表現するものです。

まず三角関数の積を和の形に変換するために、積和の公式を利用します。

$\sin(A)\sin(B) = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$

この公式を $\sin(4x)\sin(x)$ に適用すると、

$\sin(4x)\sin(x) = \frac{1}{2}[\cos(4x-x) - \cos(4x+x)] = \frac{1}{2}[\cos(3x) - \cos(5x)]$

次に、$\cos(x)$ のマクローリン展開を利用します。$\cos(x)$ のマクローリン展開は

$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

これを用いて、$\cos(3x)$ と $\cos(5x)$ をマクローリン展開します。

$\cos(3x) = 1 - \frac{(3x)^2}{2!} + \frac{(3x)^4}{4!} - \frac{(3x)^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (3x)^{2n}}{(2n)!}$

$\cos(5x) = 1 - \frac{(5x)^2}{2!} + \frac{(5x)^4}{4!} - \frac{(5x)^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (5x)^{2n}}{(2n)!}$

したがって、

$\sin(4x)\sin(x) = \frac{1}{2}[\cos(3x) - \cos(5x)] = \frac{1}{2}\left[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (3x)^{2n}}{(2n)!} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (5x)^{2n}}{(2n)!}\right]$

$\sin(4x)\sin(x) = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} [(3x)^{2n} - (5x)^{2n}] = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} [3^{2n} - 5^{2n}]$

最初の数項を書き出すと：

$\sin(4x)\sin(x) = \frac{1}{2} \left[ (1-1) + (-\frac{1}{2!}x^2)(3^2 - 5^2) + (\frac{1}{4!}x^4)(3^4 - 5^4) + (-\frac{1}{6!}x^6)(3^6 - 5^6) + \cdots \right]$

$\sin(4x)\sin(x) = \frac{1}{2} \left[ 0 + (-\frac{1}{2}x^2)(9-25) + (\frac{1}{24}x^4)(81-625) + (-\frac{1}{720}x^6)(729-15625) + \cdots \right]$

$\sin(4x)\sin(x) = \frac{1}{2} \left[ 8x^2 - \frac{544}{24}x^4 + \frac{14896}{720} x^6 + \cdots \right]$

$\sin(4x)\sin(x) = 4x^2 - \frac{68}{3}x^4 + \frac{931}{45} x^6 + \cdots$

3. 最終的な答え

$\sin(4x)\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{2(2n)!} [3^{2n} - 5^{2n}] = 4x^2 - \frac{68}{3}x^4 + \frac{931}{45} x^6 + \cdots$