陰関数 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ で表される関数について、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める問題です。答えは $\frac{-1}{(Ax+By)^C}$ の形で与えられます。

1. 問題の内容

陰関数 $x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ で表される関数について、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求める問題です。答えは $\frac{-1}{(Ax+By)^C}$ の形で与えられます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた陰関数を $x$ について微分します。

$\frac{d}{dx}(x^2 + 2xy + 2y^2) = \frac{d}{dx}(1)$

$2x + 2(x\frac{dy}{dx} + y) + 4y\frac{dy}{dx} = 0$

$2x + 2x\frac{dy}{dx} + 2y + 4y\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$(2x + 4y)\frac{dy}{dx} = -2x - 2y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 2y}{2x + 4y} = \frac{-x - y}{x + 2y}$

次に、$\frac{dy}{dx}$ をさらに $x$ について微分して、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めます。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{-x-y}{x+2y})$

商の微分公式 $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ を使います。

$u = -x - y, v = x + 2y$

$\frac{du}{dx} = -1 - \frac{dy}{dx} = -1 - (\frac{-x-y}{x+2y}) = \frac{-x-2y+x+y}{x+2y} = \frac{-y}{x+2y}$

$\frac{dv}{dx} = 1 + 2\frac{dy}{dx} = 1 + 2(\frac{-x-y}{x+2y}) = \frac{x+2y-2x-2y}{x+2y} = \frac{-x}{x+2y}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(x+2y)(\frac{-y}{x+2y}) - (-x-y)(\frac{-x}{x+2y})}{(x+2y)^2}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-y - \frac{x^2+xy}{x+2y}}{(x+2y)^2} = \frac{-y(x+2y) - x^2 - xy}{(x+2y)^3}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-xy - 2y^2 - x^2 - xy}{(x+2y)^3} = \frac{-x^2 - 2xy - 2y^2}{(x+2y)^3}$

ここで、$x^2 + 2xy + 2y^2 = 1$ より、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-1}{(x+2y)^3}$

よって、$A=1, B=2, C=3$

3. 最終的な答え

A は 1

B は 2

C は 3