与えられた4つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$ (2) $\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2} dx$ (3) $\int_{-1}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^2} dx$ (4) $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$

(2) $\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2} dx$

(3) $\int_{-1}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^2} dx$

(4) $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $x = \sin\theta$ と置換します。$dx = \cos\theta d\theta$ となります。

積分範囲は $x=0$ のとき $\theta = 0$、$x=1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

$\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin^2\theta} \cos\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$ なので、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2} [\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0) = \frac{\pi}{4}$

(2) $x = 3\sin\theta$ と置換します。$dx = 3\cos\theta d\theta$ となります。

積分範囲は $x=-3$ のとき $\theta = -\frac{\pi}{2}$、$x=3$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$ となります。

$\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9-9\sin^2\theta} (3\cos\theta) d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 9\cos^2\theta d\theta$

$= 9 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta = \frac{9}{2} [\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{9}{2} (\frac{\pi}{2} + 0 - (-\frac{\pi}{2}) - 0) = \frac{9\pi}{2}$

(3) $x = 2\sin\theta$ と置換します。$dx = 2\cos\theta d\theta$ となります。

積分範囲は $x=-1$ のとき $\theta = -\frac{\pi}{6}$、$x=\sqrt{3}$ のとき $\theta = \frac{\pi}{3}$ となります。

$\int_{-1}^{\sqrt{3}} \sqrt{4-x^2} dx = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{4-4\sin^2\theta} (2\cos\theta) d\theta = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 4\cos^2\theta d\theta$

$= 4 \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta = 2 [\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = 2 (\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3} - (-\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2}\sin(-\frac{\pi}{3})) = 2 (\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = 2 (\frac{\pi}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi + \sqrt{3}$

(4) $x = 2\sin\theta$ と置換します。$dx = 2\cos\theta d\theta$ となります。

積分範囲は $x=1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{6}$、$x=\sqrt{3}$ のとき $\theta = \frac{\pi}{3}$ となります。

$\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2\cos\theta}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} d\theta = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{2\cos\theta}{2\cos\theta} d\theta = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 d\theta = [\theta]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{4}$

(2) $\frac{9\pi}{2}$

(3) $\pi + \sqrt{3}$

(4) $\frac{\pi}{6}$