定積分 $\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}} \frac{6}{\sqrt{9 - x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}} \frac{6}{\sqrt{9 - x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{6}{\sqrt{9 - x^2}} dx$ を計算します。

$x = 3\sin\theta$ と置換すると、$dx = 3\cos\theta d\theta$ となります。

$\sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 - 9\sin^2\theta} = \sqrt{9(1 - \sin^2\theta)} = \sqrt{9\cos^2\theta} = 3\cos\theta$ となります。

したがって、

$\int \frac{6}{\sqrt{9 - x^2}} dx = \int \frac{6}{3\cos\theta} (3\cos\theta) d\theta = \int 6 d\theta = 6\theta + C$

ここで、$\sin\theta = \frac{x}{3}$ より、$\theta = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right)$ であるため、

$\int \frac{6}{\sqrt{9 - x^2}} dx = 6\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}} \frac{6}{\sqrt{9 - x^2}} dx = \left[6\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)\right]_{\frac{3}{2}}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}$

$= 6\arcsin\left(\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3}\right) - 6\arcsin\left(\frac{\frac{3}{2}}{3}\right)$

$= 6\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 6\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$

$\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$ であり、$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$ であるため、

$= 6\left(\frac{\pi}{4}\right) - 6\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$