放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2$ で囲まれた図形を $y$ 軸の周りに回転させてできる回転体の体積を求める問題です。体積を計算する公式として $V = \pi \int_a^b x^2 dy$ が与えられています。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2$ で囲まれた図形を $y$ 軸の周りに回転させてできる回転体の体積を求める問題です。体積を計算する公式として $V = \pi \int_a^b x^2 dy$ が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲 $a$ と $b$ を決定します。図形は $y=0$ から $y=2$ まで広がっているので、$a=0$, $b=2$ となります。

次に、$x^2$ を $y$ の関数として表します。与えられた式 $y=x^2$ より、 $x^2 = y$ です。

これらを公式に代入して体積を計算します。

$V = \pi \int_0^2 x^2 dy = \pi \int_0^2 y dy$

積分を計算します。

$V = \pi \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_0^2 = \pi \left( \frac{1}{2} (2^2) - \frac{1}{2} (0^2) \right) = \pi \left( \frac{1}{2} (4) - 0 \right) = 2\pi$

3. 最終的な答え

$2\pi$