楕円 $y = \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2}$ の $-a \leq x \leq a$ の範囲の図形をx軸の周りに回転させてできる楕円体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

楕円 $y = \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2}$ の $-a \leq x \leq a$ の範囲の図形をx軸の周りに回転させてできる楕円体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

回転体の体積を求めるには、積分を使用します。回転軸がx軸であるため、体積 $V$ は次の式で与えられます。

$V = \pi \int_{-a}^{a} y^2 dx$

与えられた関数 $y = \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2}$ を代入します。

$V = \pi \int_{-a}^{a} (\frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2})^2 dx$

$V = \pi \int_{-a}^{a} \frac{b^2}{a^2} (a^2 - x^2) dx$

$\frac{\pi b^2}{a^2}$ は定数なので、積分の外に出します。

$V = \frac{\pi b^2}{a^2} \int_{-a}^{a} (a^2 - x^2) dx$

積分を実行します。

$V = \frac{\pi b^2}{a^2} [a^2x - \frac{1}{3}x^3]_{-a}^{a}$

$V = \frac{\pi b^2}{a^2} [(a^3 - \frac{1}{3}a^3) - (-a^3 + \frac{1}{3}a^3)]$

$V = \frac{\pi b^2}{a^2} [\frac{2}{3}a^3 - (-\frac{2}{3}a^3)]$

$V = \frac{\pi b^2}{a^2} [\frac{4}{3}a^3]$

$V = \frac{4}{3} \pi ab^2$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}\pi ab^2$