定積分 $\int_0^2 \frac{8}{x^2-16} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^2 \frac{8}{x^2-16} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ なので、

$\frac{8}{x^2 - 16} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+4}$ とおきます。

両辺に $(x-4)(x+4)$ を掛けると、

$8 = A(x+4) + B(x-4)$ となります。

$x=4$ を代入すると、 $8 = 8A$ となり、$A=1$ です。

$x=-4$ を代入すると、 $8 = -8B$ となり、$B=-1$ です。

よって、$\frac{8}{x^2 - 16} = \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4}$ となります。

したがって、

$\int_0^2 \frac{8}{x^2-16} dx = \int_0^2 (\frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+4}) dx$

$= [\ln|x-4| - \ln|x+4|]_0^2$

$= [\ln|\frac{x-4}{x+4}|]_0^2$

$= \ln|\frac{2-4}{2+4}| - \ln|\frac{0-4}{0+4}|$

$= \ln|\frac{-2}{6}| - \ln|\frac{-4}{4}|$

$= \ln|\frac{-1}{3}| - \ln|-1|$

$= \ln(\frac{1}{3}) - \ln(1)$

$= \ln(1) - \ln(3) - 0$

$= 0 - \ln(3)$

$= -\ln(3)$

3. 最終的な答え

$-\ln(3)$