放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2$ で囲まれた図形を $y$ 軸の周りに回転させてできる回転体の体積を求める。回転体の体積を求める公式として $V = \pi \int_a^b x^2 dy$ を使う。

## 回答

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2$ で囲まれた図形を $y$ 軸の周りに回転させてできる回転体の体積を求める。回転体の体積を求める公式として $V = \pi \int_a^b x^2 dy$ を使う。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2$ と直線 $y = 2$ の交点を求める。$x^2 = 2$ を解くと、$x = \pm \sqrt{2}$ となる。

次に、$y$ 軸周りの回転体の体積を求めるために、$V = \pi \int_a^b x^2 dy$ の公式を用いる。

この問題では、$x^2 = y$ であり、積分範囲は $y = 0$ から $y = 2$ であるから、

$a = 0$, $b = 2$ となる。

したがって、求める体積は

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V = \pi \int_0^2 y \, dy

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積分を計算する。

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V = \pi \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_0^2

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V = \pi \left( \frac{1}{2} (2)^2 - \frac{1}{2} (0)^2 \right)

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V = \pi \left( \frac{1}{2} (4) - 0 \right)

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V = 2\pi

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3. 最終的な答え

$2\pi$