与えられた極限を計算します。 $$ \lim_{x \to \infty} x\{\log(2x+1) - \log(2x)\} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

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\lim_{x \to \infty} x\{\log(2x+1) - \log(2x)\}

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2. 解き方の手順

まず、対数の差を対数の商に変換します。

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\lim_{x \to \infty} x \log \left(\frac{2x+1}{2x}\right) = \lim_{x \to \infty} x \log \left(1 + \frac{1}{2x}\right)

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次に、$y = \frac{1}{2x}$と置換します。すると、$x \to \infty$のとき、$y \to 0$となります。また、$x = \frac{1}{2y}$です。したがって、

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\lim_{x \to \infty} x \log \left(1 + \frac{1}{2x}\right) = \lim_{y \to 0} \frac{1}{2y} \log (1+y) = \frac{1}{2} \lim_{y \to 0} \frac{\log(1+y)}{y}

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ここで、$\lim_{y \to 0} \frac{\log(1+y)}{y} = 1$を利用します。

したがって、

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\frac{1}{2} \lim_{y \to 0} \frac{\log(1+y)}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}

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3. 最終的な答え

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\frac{1}{2}

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