与えられた極限 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$を$\frac{\sin x}{\cos x}$で置き換えます。

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\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x}

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ここで、$x - \frac{\pi}{2} = t$とおくと、$x = t + \frac{\pi}{2}$であり、$x \to \frac{\pi}{2}$のとき、$t \to 0$となります。したがって、

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\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{t \to 0} t \frac{\sin(t + \frac{\pi}{2})}{\cos(t + \frac{\pi}{2})}

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三角関数の加法定理より、$\sin(t + \frac{\pi}{2}) = \cos t$、$\cos(t + \frac{\pi}{2}) = -\sin t$となるので、

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\lim_{t \to 0} t \frac{\cos t}{-\sin t} = - \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} \cos t

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ここで、$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$を用いると、$\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1$となります。また、$\lim_{t \to 0} \cos t = 1$であるので、

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- \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} \cos t = -1 \cdot 1 = -1

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したがって、

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\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = -1

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3. 最終的な答え

-1