1. 問題の内容
与えられた極限 を計算します。
2. 解き方の手順
まず、をで置き換えます。
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x}
ここで、とおくと、であり、のとき、となります。したがって、
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{t \to 0} t \frac{\sin(t + \frac{\pi}{2})}{\cos(t + \frac{\pi}{2})}
三角関数の加法定理より、、となるので、
\lim_{t \to 0} t \frac{\cos t}{-\sin t} = - \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} \cos t
ここで、を用いると、となります。また、であるので、
- \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} \cos t = -1 \cdot 1 = -1
したがって、
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = -1
3. 最終的な答え
-1