与えられた極限 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$ を計算します。

解析学極限三角関数微分
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた極限 limxπ2(xπ2)tanx\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x を計算します。

2. 解き方の手順

まず、tanx\tan xsinxcosx\frac{\sin x}{\cos x}で置き換えます。
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x}
ここで、xπ2=tx - \frac{\pi}{2} = tとおくと、x=t+π2x = t + \frac{\pi}{2}であり、xπ2x \to \frac{\pi}{2}のとき、t0t \to 0となります。したがって、
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{t \to 0} t \frac{\sin(t + \frac{\pi}{2})}{\cos(t + \frac{\pi}{2})}
三角関数の加法定理より、sin(t+π2)=cost\sin(t + \frac{\pi}{2}) = \cos tcos(t+π2)=sint\cos(t + \frac{\pi}{2}) = -\sin tとなるので、
\lim_{t \to 0} t \frac{\cos t}{-\sin t} = - \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} \cos t
ここで、limt0sintt=1\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1を用いると、limt0tsint=1\lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} = 1となります。また、limt0cost=1\lim_{t \to 0} \cos t = 1であるので、
- \lim_{t \to 0} \frac{t}{\sin t} \cos t = -1 \cdot 1 = -1
したがって、
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = -1

3. 最終的な答え

-1

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