与えられた定積分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+1)(x+4)}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+1)(x+4)}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{1}{(x+1)(x+4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+4}$

両辺に $(x+1)(x+4)$ をかけると

$1 = A(x+4) + B(x+1)$

$x = -1$ を代入すると $1 = A(-1+4) + B(-1+1) = 3A$ となるので、$A = \frac{1}{3}$

$x = -4$ を代入すると $1 = A(-4+4) + B(-4+1) = -3B$ となるので、$B = -\frac{1}{3}$

よって

$\frac{1}{(x+1)(x+4)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+4} \right)$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(x+1)(x+4)} = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+4} \right) dx$

$= \frac{1}{3} \left[ \ln|x+1| - \ln|x+4| \right]_{0}^{1}$

$= \frac{1}{3} \left[ \ln\left| \frac{x+1}{x+4} \right| \right]_{0}^{1}$

$= \frac{1}{3} \left( \ln\left( \frac{1+1}{1+4} \right) - \ln\left( \frac{0+1}{0+4} \right) \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \ln\left( \frac{2}{5} \right) - \ln\left( \frac{1}{4} \right) \right)$

$= \frac{1}{3} \ln\left( \frac{2/5}{1/4} \right)$

$= \frac{1}{3} \ln\left( \frac{2}{5} \cdot 4 \right)$

$= \frac{1}{3} \ln\left( \frac{8}{5} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln\left( \frac{8}{5} \right)$