$\cos \frac{\pi}{8}$ の値を半角の公式を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

$\cos \frac{\pi}{8}$ の値を半角の公式を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

半角の公式は以下の通りです。

$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos \theta}{2}$

$\cos \frac{\pi}{8}$を求めるために、$\theta = \frac{\pi}{4}$ とします。すると、

$\frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{8}$ となります。

$\cos^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2}$

$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\cos^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

$\frac{\pi}{8}$ は第1象限の角なので、$\cos \frac{\pi}{8} > 0$ です。よって、

$\cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

3. 最終的な答え

$\cos \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$