逆三角関数の値を求める問題です。 (1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{2})$ (2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{2})$ (3) $\tan^{-1}(-\sqrt{3})$ これらの値をそれぞれ求めます。ただし、逆三角関数の値は常に主値を取ります。

1. 問題の内容

逆三角関数の値を求める問題です。

(1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{2})$

(2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{2})$

(3) $\tan^{-1}(-\sqrt{3})$

これらの値をそれぞれ求めます。ただし、逆三角関数の値は常に主値を取ります。

2. 解き方の手順

(1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{2})$について：

$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めます。$\sin$ の主値の範囲は $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ です。

$\sin (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ なので、$\theta = -\frac{\pi}{6}$ となります。

(2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{2})$について：

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求めます。$\cos$ の主値の範囲は $0 \leq \theta \leq \pi$ です。

$\cos (\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ なので、$\theta = \frac{2\pi}{3}$ となります。

(3) $\tan^{-1}(-\sqrt{3})$について：

$\tan \theta = -\sqrt{3}$ となる $\theta$ を求めます。$\tan$ の主値の範囲は $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ です。

$\tan (-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ なので、$\theta = -\frac{\pi}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$

(2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$

(3) $\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$