逆三角関数の値を求める問題です。 (1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{2})$ (2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{2})$ (3) $\tan^{-1}(-\sqrt{3})$ これらの値をそれぞれ求めます。ただし、逆三角関数の値は常に主値を取ります。

解析学逆三角関数三角関数主値
2025/7/9

1. 問題の内容

逆三角関数の値を求める問題です。
(1) sin1(12)\sin^{-1}(-\frac{1}{2})
(2) cos1(12)\cos^{-1}(-\frac{1}{2})
(3) tan1(3)\tan^{-1}(-\sqrt{3})
これらの値をそれぞれ求めます。ただし、逆三角関数の値は常に主値を取ります。

2. 解き方の手順

(1) sin1(12)\sin^{-1}(-\frac{1}{2})について:
sinθ=12\sin \theta = -\frac{1}{2} となる θ\theta を求めます。sin\sin の主値の範囲は π2θπ2-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} です。
sin(π6)=12\sin (-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} なので、θ=π6\theta = -\frac{\pi}{6} となります。
(2) cos1(12)\cos^{-1}(-\frac{1}{2})について:
cosθ=12\cos \theta = -\frac{1}{2} となる θ\theta を求めます。cos\cos の主値の範囲は 0θπ0 \leq \theta \leq \pi です。
cos(2π3)=12\cos (\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} なので、θ=2π3\theta = \frac{2\pi}{3} となります。
(3) tan1(3)\tan^{-1}(-\sqrt{3})について:
tanθ=3\tan \theta = -\sqrt{3} となる θ\theta を求めます。tan\tan の主値の範囲は π2<θ<π2-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} です。
tan(π3)=3\tan (-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} なので、θ=π3\theta = -\frac{\pi}{3} となります。

3. 最終的な答え

(1) sin1(12)=π6\sin^{-1}(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}
(2) cos1(12)=2π3\cos^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}
(3) tan1(3)=π3\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}

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