与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x + \sec x}{\cos x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x + \sec x}{\cos x} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を分解します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x + \sec x}{\cos x} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sec x}{\cos x}\right) dx$

次に、$\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ と $\frac{\sec x}{\cos x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ であることを用いて、積分を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (\tan x + \sec^2 x) dx$

次に、それぞれの項を積分します。$\tan x$ の積分は $-\ln|\cos x|$ であり、$\sec^2 x$ の積分は $\tan x$ です。

$\int (\tan x + \sec^2 x) dx = -\ln|\cos x| + \tan x + C$

したがって、定積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (\tan x + \sec^2 x) dx = [-\ln|\cos x| + \tan x]_{0}^{\frac{\pi}{6}}$

積分の上限と下限を代入します。

$[-\ln|\cos(\frac{\pi}{6})| + \tan(\frac{\pi}{6})] - [-\ln|\cos(0)| + \tan(0)]$

$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cos(0) = 1$, $\tan(0) = 0$ であるため、

$[-\ln(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{1}{\sqrt{3}}] - [-\ln(1) + 0]$

$\ln(1) = 0$ であるため、

$-\ln(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\ln(\sqrt{3}) + \ln(2) + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}\ln(3) + \ln(2) + \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$であるため、

$-\frac{1}{2}\ln(3) + \ln(2) + \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}\ln(3) + \ln(2) + \frac{\sqrt{3}}{3}$