関数 $y = x^{3x}$ を対数微分法で微分せよ。ただし、$x > 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{3x}$ を対数微分法で微分せよ。ただし、$x > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^{3x}$ の両辺の自然対数をとります。

$\ln{y} = \ln{(x^{3x})}$

対数の性質 $\ln{(a^b)} = b\ln{a}$ を用いると、

$\ln{y} = 3x\ln{x}$

次に、この式を $x$ で微分します。左辺は $y$ についての関数なので、合成関数の微分を行います。右辺は積の微分を行います。

$\frac{d}{dx} \ln{y} = \frac{d}{dx} (3x\ln{x})$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3\ln{x} + 3x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3\ln{x} + 3$

両辺に $y$ を掛けて $\frac{dy}{dx}$ について解くと、

$\frac{dy}{dx} = y(3\ln{x} + 3)$

ここで、$y = x^{3x}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = x^{3x} (3\ln{x} + 3)$

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x} (\ln{x} + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3x^{3x}(\ln{x} + 1)$