関数 $y = (\sin x)(\cos x)$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (\sin x)(\cos x)$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を用いる。積の微分公式は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ があるとき、

$(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

で与えられる。

今回は、$u(x) = \sin x$、$v(x) = \cos x$ とすると、

$u'(x) = \cos x$、$v'(x) = -\sin x$ となる。

したがって、

$y' = (\sin x \cos x)' = (\sin x)' \cos x + \sin x (\cos x)' = (\cos x) (\cos x) + (\sin x) (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ であるから

$y' = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$

3. 最終的な答え

$\cos 2x$