次の4つの不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1}dx$ (2) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$ (3) $\int \log|x^2-1|dx$ (4) $\int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}}dx$

1. 問題の内容

次の4つの不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1}dx$

(2) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$

(3) $\int \log|x^2-1|dx$

(4) $\int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}}dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1}dx$

$x = t^4$とおくと、$dx = 4t^3 dt$となる。

$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1}dx = \int \frac{t^2}{t^3+1}4t^3 dt = 4 \int \frac{t^5}{t^3+1}dt$

$\frac{t^5}{t^3+1} = t^2 - \frac{t^2}{t^3+1}$だから

$\int \frac{t^5}{t^3+1}dt = \int (t^2 - \frac{t^2}{t^3+1})dt = \frac{t^3}{3} - \frac{1}{3} \log|t^3+1| + C$

したがって、$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1}dx = 4(\frac{x^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{1}{3} \log|x^{\frac{3}{4}}+1|) + C = \frac{4}{3}x^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \log|x^{\frac{3}{4}}+1| + C$

(2) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$

$x+1 = t^2$とおくと、$x = t^2-1$, $dx = 2t dt$となる。

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}} = \int \frac{2t dt}{(t^2-1)t} = 2 \int \frac{dt}{t^2-1} = 2 \int \frac{1}{2}(\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1})dt = \int (\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1})dt = \log|t-1| - \log|t+1| + C = \log|\frac{t-1}{t+1}| + C$

$t = \sqrt{x+1}$だから、

$\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}} = \log|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}| + C$

(3) $\int \log|x^2-1|dx$

部分積分を行う。$u = \log|x^2-1|$, $dv = dx$とすると、$du = \frac{2x}{x^2-1}dx$, $v = x$となる。

$\int \log|x^2-1|dx = x\log|x^2-1| - \int x \frac{2x}{x^2-1}dx = x\log|x^2-1| - 2 \int \frac{x^2}{x^2-1}dx = x\log|x^2-1| - 2 \int (1 + \frac{1}{x^2-1})dx = x\log|x^2-1| - 2x - 2 \int \frac{1}{2}(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})dx = x\log|x^2-1| - 2x - (\log|x-1| - \log|x+1|) + C = x\log|x^2-1| - 2x - \log|\frac{x-1}{x+1}| + C = x\log|x^2-1| - 2x - \log|\frac{x-1}{x+1}| + C$

(4) $\int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}}dx$

$\int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}}dx = \int \frac{e^x}{\frac{e^{2x}-1}{e^x}}dx = \int \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}dx$

$t = e^{2x}-1$とおくと、$dt = 2e^{2x}dx$となる。

$\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}dx = \int \frac{1}{t} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \log|t| + C = \frac{1}{2} \log|e^{2x}-1| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{3}x^{\frac{3}{4}} - \frac{4}{3} \log|x^{\frac{3}{4}}+1| + C$

(2) $\log|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}| + C$

(3) $x\log|x^2-1| - 2x - \log|\frac{x-1}{x+1}| + C$

(4) $\frac{1}{2} \log|e^{2x}-1| + C$