与えられた関数の、指定された $x$ の値に対応する点における接線の方程式を求める問題です。ここでは、問題番号(2)の関数 $y = \frac{1}{x}$ において、$x = 2$ のときの接線を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数の、指定された $x$ の値に対応する点における接線の方程式を求める問題です。ここでは、問題番号(2)の関数 $y = \frac{1}{x}$ において、$x = 2$ のときの接線を求めます。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を求めます。$x = 2$ を関数に代入すると、$y = \frac{1}{2}$ となります。したがって、接点の座標は $(2, \frac{1}{2})$ です。

次に、導関数を求めます。$y = \frac{1}{x} = x^{-1}$ なので、導関数は

$\frac{dy}{dx} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

となります。

次に、$x = 2$ における導関数の値を計算します。これは接線の傾きを表します。

$\frac{dy}{dx}|_{x=2} = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$

最後に、点 $(2, \frac{1}{2})$ を通り、傾きが $-\frac{1}{4}$ である直線の方程式を求めます。点傾きの公式を用いて、接線の方程式は

$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2)$

となります。これを整理すると、

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{4}x + 1$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{4}x + 1$