次の不定積分を求めます。 (1) $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3+1}}dx$ (2) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$ (3) $\int \log|x^2-1|dx$ (4) $\int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}}dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3+1}}dx$

(2) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$

(3) $\int \log|x^2-1|dx$

(4) $\int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}}dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1}dx$ は、特殊な関数になる可能性があります。初等関数では積分できない可能性があります。

(2) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}}$

$x+1 = t^2$ と置換すると、$dx = 2t dt$

$\int \frac{2t dt}{(t^2-1)t} = \int \frac{2}{t^2-1}dt = \int \frac{2}{(t-1)(t+1)}dt$

$\frac{2}{(t-1)(t+1)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1}$

$2 = A(t+1) + B(t-1)$

$t=1$ のとき $2 = 2A$ より $A=1$

$t=-1$ のとき $2 = -2B$ より $B=-1$

$\int (\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1})dt = \log|t-1| - \log|t+1| + C = \log|\frac{t-1}{t+1}| + C$

$t=\sqrt{x+1}$ より

$\log|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}| + C$

(3) $\int \log|x^2-1|dx = \int \log|(x-1)(x+1)| dx = \int \log|x-1| + \log|x+1| dx$

$\int \log|x-1| dx = \int \log(x-1) dx$

(部分積分) $u = \log(x-1)$, $dv = dx$, $du = \frac{1}{x-1}dx$, $v=x$

$x\log(x-1) - \int \frac{x}{x-1}dx = x\log(x-1) - \int (1 + \frac{1}{x-1})dx = x\log(x-1) - x - \log(x-1) = (x-1)\log(x-1) - x$

$\int \log|x+1| dx$ も同様に計算すると、$(x+1)\log(x+1) - x$

よって、$\int \log|x^2-1|dx = (x-1)\log|x-1| - x + (x+1)\log|x+1| - x + C = (x-1)\log|x-1| + (x+1)\log|x+1| - 2x + C$

(4) $\int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}}dx = \int \frac{e^x}{\frac{e^{2x}-1}{e^x}} dx = \int \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1} dx$

$u = e^{2x}$ と置換すると、$du = 2e^{2x} dx$

$\frac{1}{2}\int \frac{du}{u-1} = \frac{1}{2}\log|u-1| + C = \frac{1}{2}\log|e^{2x}-1| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3}+1}dx$：不定積分は初等関数で表現できない可能性があります。

(2) $\int \frac{dx}{x\sqrt{x+1}} = \log|\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}| + C$

(3) $\int \log|x^2-1|dx = (x-1)\log|x-1| + (x+1)\log|x+1| - 2x + C$

(4) $\int \frac{e^x}{e^x-e^{-x}}dx = \frac{1}{2}\log|e^{2x}-1| + C$