画像にある数学の問題は以下の通りです。 問題1: 次の関数を微分せよ。 (1) $y = \log 3x$ (2) $y = \log_2 (x^2 + 1)$ (3) $y = (\log x)^2$ (4) $y = x \log x - x$ 問題2: $(\log_a |x|)' = \frac{1}{x \log a}$であることを示せ。ただし、$a$は1でない正の定数とする。 問題3: 次の関数を微分せよ。 (1) $y = \log |\sin x|$ (2) $y = \log_2 |x^2 - 4|$

1. 問題の内容

画像にある数学の問題は以下の通りです。

問題1: 次の関数を微分せよ。

(1) $y = \log 3x$

(2) $y = \log_2 (x^2 + 1)$

(3) $y = (\log x)^2$

(4) $y = x \log x - x$

問題2: $(\log_a |x|)' = \frac{1}{x \log a}$であることを示せ。ただし、$a$は1でない正の定数とする。

問題3: 次の関数を微分せよ。

(1) $y = \log |\sin x|$

(2) $y = \log_2 |x^2 - 4|$

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $y = \log 3x$

$\log$ は底が10である常用対数と仮定します。

$y' = \frac{1}{3x \log 10} \cdot 3 = \frac{1}{x \log 10}$

(2) $y = \log_2 (x^2 + 1)$

$y' = \frac{1}{(x^2 + 1) \log 2} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2 + 1) \log 2}$

(3) $y = (\log x)^2$

$y' = 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x \log 10} = \frac{2 \log x}{x \log 10}$

(4) $y = x \log x - x$

$y' = \log x + x \cdot \frac{1}{x \log 10} - 1 = \log x + \frac{1}{\log 10} - 1$

問題2:

$(\log_a |x|)' = \frac{1}{|x| \log a} \cdot \frac{d}{dx} |x|$

$x>0$ のとき $|x|=x$ より $\frac{d}{dx}|x|=1$

$x<0$ のとき $|x|=-x$ より $\frac{d}{dx}|x|=-1$

従って $\frac{d}{dx}|x| = \frac{x}{|x|}$

よって

$(\log_a |x|)' = \frac{1}{|x| \log a} \cdot \frac{x}{|x|} = \frac{x}{x^2 \log a} = \frac{1}{x \log a}$

問題3:

(1) $y = \log |\sin x|$

$y' = \frac{1}{|\sin x| \log 10} \cdot \frac{d}{dx} |\sin x| = \frac{1}{|\sin x| \log 10} \cdot \frac{\sin x}{|\sin x|} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x \log 10} = \frac{\cot x}{\log 10}$

(2) $y = \log_2 |x^2 - 4|$

$y' = \frac{1}{|x^2 - 4| \log 2} \cdot \frac{d}{dx} |x^2 - 4| = \frac{1}{|x^2 - 4| \log 2} \cdot \frac{x^2 - 4}{|x^2 - 4|} \cdot 2x = \frac{2x}{(x^2 - 4) \log 2}$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $y' = \frac{1}{x \log 10}$

(2) $y' = \frac{2x}{(x^2 + 1) \log 2}$

(3) $y' = \frac{2 \log x}{x \log 10}$

(4) $y' = \log x + \frac{1}{\log 10} - 1$

問題2:

$(\log_a |x|)' = \frac{1}{x \log a}$ (証明完了)

問題3:

(1) $y' = \frac{\cot x}{\log 10}$

(2) $y' = \frac{2x}{(x^2 - 4) \log 2}$