次の関数の不定積分を求めます。 $\int \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2} dx$

## 問題1(1)

1. 問題の内容

次の関数の不定積分を求めます。

$\int \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。

$\frac{2}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{2}{(e^x + \frac{1}{e^x})^2} = \frac{2}{(\frac{e^{2x} + 1}{e^x})^2} = \frac{2e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2}$

ここで、$u = e^{2x} + 1$ と置換すると、$du = 2e^{2x} dx$ となります。よって、

$\int \frac{2e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} du = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{e^{2x} + 1} + C$

さらに、変形します。

$-\frac{1}{e^{2x} + 1} = -\frac{1}{e^{2x} + 1} \cdot \frac{e^{-x}}{e^{-x}} = -\frac{e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = -\frac{1}{2} \frac{2e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = -\frac{1}{2} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \frac{-1}{1} + \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{e^{2x}+1} = \frac{-1}{e^{2x}+1} = \frac{-e^{-2x}}{1+e^{-2x}} = \frac{-(1+e^{-2x})+1}{1+e^{-2x}} = -1 + \frac{1}{1+e^{-2x}} = -1 + \frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}$

$\frac{-1}{e^{2x} + 1} + C = \frac{-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} + C = \frac{-1}{e^x+e^{-x}}e^{-x} + C = -\frac{e^{-x}}{2\cosh(x)} + C$

$\frac{e^{-x} - e^x}{e^x+e^{-x}}$を積分すると、

$\int \frac{-1}{e^{2x}+1} dx = \int \frac{-e^{-2x}}{1+e^{-2x}} dx$

ここで $u = e^{-2x} , du = -2e^{-2x}$ より

$= \int \frac{1}{2(1+u)} du = \frac{1}{2} log(1+u) + C = \frac{1}{2} log(1+e^{-2x}) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2} dx = -\frac{1}{e^{2x} + 1} + C = \frac{1}{2}\log(1 + e^{-2x}) + C$

## 問題1(2)

1. 問題の内容

次の関数の不定積分を求めます。

$\int x \tan^{-1} x dx$

2. 解き方の手順

部分積分を用います。$u = \tan^{-1} x$、$dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$、$v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \tan^{-1} x dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$

ここで、$\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{x^2 + 1 - 1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$ なので、

$\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = x - \tan^{-1} x + C$

よって、

$\int x \tan^{-1} x dx = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{1}{2} (x - \tan^{-1} x) + C = \frac{x^2}{2} \tan^{-1} x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \tan^{-1} x + C = \frac{x^2+1}{2}\tan^{-1}x - \frac{x}{2} + C$

3. 最終的な答え

$\int x \tan^{-1} x dx = \frac{x^2+1}{2}\tan^{-1}x - \frac{x}{2} + C$

## 問題2(1)

1. 問題の内容

次の有理関数の不定積分を求めます。

$\int \frac{2x+7}{x^2+x-2} dx$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{2x+7}{x^2+x-2} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}$

$2x+7 = A(x-1) + B(x+2)$

$x = 1$ のとき $9 = 3B$ より $B = 3$

$x = -2$ のとき $3 = -3A$ より $A = -1$

よって、

$\frac{2x+7}{x^2+x-2} = \frac{-1}{x+2} + \frac{3}{x-1}$

したがって、

$\int \frac{2x+7}{x^2+x-2} dx = \int (\frac{-1}{x+2} + \frac{3}{x-1}) dx = -\int \frac{1}{x+2} dx + 3\int \frac{1}{x-1} dx = -\ln|x+2| + 3\ln|x-1| + C = \ln\left|\frac{(x-1)^3}{(x+2)}\right| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{2x+7}{x^2+x-2} dx = -\ln|x+2| + 3\ln|x-1| + C = \ln\left|\frac{(x-1)^3}{x+2}\right| + C$

## 問題2(2)

1. 問題の内容

次の有理関数の不定積分を求めます。

$\int \frac{x^4 + 2x^3 - 1}{x^2 + 2x + 3} dx$

2. 解き方の手順

まず、分子を分母で割ります。

$x^4 + 2x^3 - 1 = (x^2+2x+3)(x^2-0) - 3x^2 -1$

$x^2 - 3 = x^2 - 0x -3$

$x^2(x^2+2x+3) = x^4+2x^3+3x^2$

$x^4 + 2x^3 - 1 - x^2(x^2+2x+3) = -3x^2 -1$

$-3(x^2+2x+3) = -3x^2 -6x -9$

$-3x^2 -1 - (-3)(x^2+2x+3) = 6x + 8$

よって

$\frac{x^4 + 2x^3 - 1}{x^2 + 2x + 3} = x^2 - 3 + \frac{6x + 8}{x^2 + 2x + 3}$

したがって

$\int \frac{x^4 + 2x^3 - 1}{x^2 + 2x + 3} dx = \int x^2 - 3 + \frac{6x + 8}{x^2 + 2x + 3} dx = \frac{x^3}{3} - 3x + \int \frac{6x + 8}{x^2 + 2x + 3} dx$

$\int \frac{6x + 8}{x^2 + 2x + 3} dx = \int \frac{3(2x + 2) + 2}{x^2 + 2x + 3} dx = 3\int \frac{2x+2}{x^2+2x+3} dx + 2\int \frac{1}{x^2+2x+3} dx$

$\int \frac{2x+2}{x^2+2x+3} dx = \ln|x^2+2x+3| + C$

$\int \frac{1}{x^2+2x+3} dx = \int \frac{1}{(x+1)^2 + 2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}}) + C$

よって

$\int \frac{6x + 8}{x^2 + 2x + 3} dx = 3\ln|x^2+2x+3| + \frac{2}{\sqrt{2}} \arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}}) + C$

$\int \frac{x^4 + 2x^3 - 1}{x^2 + 2x + 3} dx = \frac{x^3}{3} - 3x + 3\ln(x^2+2x+3) + \sqrt{2} \arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}}) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{x^4 + 2x^3 - 1}{x^2 + 2x + 3} dx = \frac{x^3}{3} - 3x + 3\ln(x^2+2x+3) + \sqrt{2} \arctan(\frac{x+1}{\sqrt{2}}) + C$

## 問題2(3)

1. 問題の内容

次の有理関数の不定積分を求めます。

$\int \frac{5x}{x^3 - 2x - 4} dx$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。$x^3 - 2x - 4 = (x-2)(x^2 + 2x + 2)$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{5x}{x^3 - 2x - 4} = \frac{A}{x-2} + \frac{Bx+C}{x^2+2x+2}$

$5x = A(x^2+2x+2) + (Bx+C)(x-2)$

$5x = Ax^2+2Ax+2A + Bx^2-2Bx+Cx-2C$

$5x = (A+B)x^2 + (2A-2B+C)x + (2A-2C)$

$A+B=0$

$2A-2B+C=5$

$2A-2C=0$

$A = C$

$2A-2B+A = 3A-2B=5$

$A = -B$

$3A + 2A = 5A = 5$

$A = 1, B=-1, C=1$

よって、

$\frac{5x}{x^3 - 2x - 4} = \frac{1}{x-2} + \frac{-x+1}{x^2+2x+2}$

したがって、

$\int \frac{5x}{x^3 - 2x - 4} dx = \int (\frac{1}{x-2} + \frac{-x+1}{x^2+2x+2}) dx = \int \frac{1}{x-2} dx + \int \frac{-x+1}{x^2+2x+2} dx = \ln|x-2| + \int \frac{-x+1}{x^2+2x+2} dx$

$\int \frac{-x+1}{x^2+2x+2} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{x^2+2x+2} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{(2x+2)-4}{x^2+2x+2} dx$

$= -\frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{x^2+2x+2} dx + 2\int \frac{1}{x^2+2x+2} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln(x^2+2x+2) + 2 \int \frac{1}{(x+1)^2 + 1} dx = -\frac{1}{2} \ln(x^2+2x+2) + 2 \arctan(x+1) + C$

よって

$\int \frac{5x}{x^3 - 2x - 4} dx = \ln|x-2| - \frac{1}{2} \ln(x^2+2x+2) + 2 \arctan(x+1) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{5x}{x^3 - 2x - 4} dx = \ln|x-2| - \frac{1}{2} \ln(x^2+2x+2) + 2 \arctan(x+1) + C$