定積分 $\int_{1}^{9} \frac{dy}{\sqrt{y^5}}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{9} \frac{dy}{\sqrt{y^5}}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算するために、被積分関数を $y$ のべき乗の形で書き換えます。

$\sqrt{y^5} = (y^5)^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{5}{2}}$ であるから、

$\frac{1}{\sqrt{y^5}} = \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = y^{-\frac{5}{2}}$ となります。

よって、積分は $\int_{1}^{9} y^{-\frac{5}{2}} dy$ となります。

次に、不定積分を求めます。

$\int y^{-\frac{5}{2}} dy = \frac{y^{-\frac{5}{2}+1}}{-\frac{5}{2}+1} + C = \frac{y^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}} + C = -\frac{2}{3} y^{-\frac{3}{2}} + C = -\frac{2}{3 \sqrt{y^3}} + C$

最後に、定積分の値を求めます。

$\int_{1}^{9} y^{-\frac{5}{2}} dy = \left[ -\frac{2}{3} y^{-\frac{3}{2}} \right]_{1}^{9} = -\frac{2}{3} (9^{-\frac{3}{2}} - 1^{-\frac{3}{2}}) = -\frac{2}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{9^3}} - 1 \right) = -\frac{2}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{729}} - 1 \right) = -\frac{2}{3} \left( \frac{1}{27} - 1 \right) = -\frac{2}{3} \left( \frac{1-27}{27} \right) = -\frac{2}{3} \left( -\frac{26}{27} \right) = \frac{52}{81}$

3. 最終的な答え

$\frac{52}{81}$