次の4つの関数について、指定された $x$ の値に対応する点における接線の方程式を求める問題です。 (1) $y = x^2 - x$ ($x=3$) (2) $y = \frac{1}{x}$ ($x=2$) (3) $y = 3\sqrt[3]{x^2}$ ($x=8$) (4) $y = e^{2x}$ ($x=0$)

1. 問題の内容

次の4つの関数について、指定された $x$ の値に対応する点における接線の方程式を求める問題です。

(1) $y = x^2 - x$ ($x=3$)

(2) $y = \frac{1}{x}$ ($x=2$)

(3) $y = 3\sqrt[3]{x^2}$ ($x=8$)

(4) $y = e^{2x}$ ($x=0$)

2. 解き方の手順

各関数の接線の方程式を求める手順は以下の通りです。

(1) 関数 $y = f(x)$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求めます。

(2) 指定された $x$ の値 $x_0$ を導関数に代入して、接線の傾き $f'(x_0)$ を求めます。

(3) 指定された $x$ の値 $x_0$ を元の関数に代入して、$y$ 座標 $f(x_0)$ を求めます。

(4) 点 $(x_0, f(x_0))$ を通り、傾きが $f'(x_0)$ の直線の方程式を求めます。これが接線の方程式です。接線の方程式は $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ で表されます。

以下、各関数について具体的に計算します。

(1) $y = x^2 - x$ ($x=3$)

$y' = 2x - 1$

$x = 3$ のとき、$y' = 2(3) - 1 = 5$

$x = 3$ のとき、$y = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$

よって、接線の方程式は $y - 6 = 5(x - 3)$

$y = 5x - 15 + 6$

$y = 5x - 9$

(2) $y = \frac{1}{x}$ ($x=2$)

$y' = -\frac{1}{x^2}$

$x = 2$ のとき、$y' = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$

$x = 2$ のとき、$y = \frac{1}{2}$

よって、接線の方程式は $y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2)$

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{4}x + 1$

(3) $y = 3\sqrt[3]{x^2}$ ($x=8$)

$y = 3x^{\frac{2}{3}}$

$y' = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = 2x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

$x = 8$ のとき、$y' = \frac{2}{\sqrt[3]{8}} = \frac{2}{2} = 1$

$x = 8$ のとき、$y = 3\sqrt[3]{8^2} = 3\sqrt[3]{64} = 3(4) = 12$

よって、接線の方程式は $y - 12 = 1(x - 8)$

$y = x - 8 + 12$

$y = x + 4$

(4) $y = e^{2x}$ ($x=0$)

$y' = 2e^{2x}$

$x = 0$ のとき、$y' = 2e^{2(0)} = 2e^0 = 2(1) = 2$

$x = 0$ のとき、$y = e^{2(0)} = e^0 = 1$

よって、接線の方程式は $y - 1 = 2(x - 0)$

$y = 2x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = 5x - 9$

(2) $y = -\frac{1}{4}x + 1$

(3) $y = x + 4$

(4) $y = 2x + 1$